Injektive Auflösung

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie und der homologischen Algebra ist eine injektive Auflösung eine lange exakte Sequenz aus injektiven Objekten, die mit einem gegebenen Objekt beginnt.

Definition

Formal sei ${\displaystyle C}$ eine abelsche Kategorie und ${\displaystyle A}$ ein Objekt aus ${\displaystyle C}$. Dann heißt eine lange exakte Sequenz der Form

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow I_{0}\rightarrow I_{1}\rightarrow I_{2}\rightarrow \cdots }$

injektive Auflösung von ${\displaystyle A}$, wenn sämtliche ${\displaystyle I_{i}}$ injektiv sind.^[1]

Existenz

Ist in der abelschen Kategorie ${\displaystyle C}$ jedes Objekt Unterobjekt eines injektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} (C)}$ einen Monomorphismus ${\displaystyle X\rightarrow I}$, wobei ${\displaystyle I}$ injektiv ist, so sagt man auch, ${\displaystyle C}$ besitze genügend viele injektive Objekte. Ein wichtiges Beispiel solcher Kategorien ist die Kategorie der Links-Moduln über einem Ring.

Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt ${\displaystyle A}$ eine injektive Auflösung. Zunächst existiert nämlich nach Voraussetzung ein Monomorphismus ${\displaystyle i_{0}:A\rightarrow I_{0}}$, dann weiter ein Monomorphismus ${\displaystyle i_{1}:\operatorname {coker} (i_{0})\rightarrow I_{1}}$ und dann per Induktion jeweils weiter ${\displaystyle i_{n+1}:\operatorname {coker} (i_{n})\rightarrow I_{n+1}}$.

Eigenschaften

Ist

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow I_{0}\rightarrow I_{1}\rightarrow I_{2}\rightarrow \cdots }$

eine injektive Auflösung und

${\displaystyle 0\rightarrow A'\rightarrow A'_{0}\rightarrow A'_{1}\rightarrow A'_{2}\rightarrow \cdots }$

eine exakte Sequenz, so lässt sich jeder ${\displaystyle C}$-Homomorphismus ${\displaystyle f:A'\rightarrow A}$ (nicht notwendigerweise eindeutig) zu einem kommutativen Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}0\rightarrow &A'&\rightarrow &A'_{0}&\rightarrow &A'_{1}&\rightarrow &A'_{2}&\rightarrow \cdots \\&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\cdots \\0\rightarrow &A&\rightarrow &I_{0}&\rightarrow &I_{1}&\rightarrow &I_{2}&\rightarrow \cdots \\\end{matrix}}}$

ergänzen. Eine wichtige Folgerung aus dieser Eigenschaft ist, dass je zwei injektive Auflösungen eines Objektes vom selben Homotopietyp sind.^[2]

Siehe auch

• Der duale Begriff ist der der projektiven Auflösung.
• Eine Anwendung finden injektive Auflösungen in der Berechnung abgeleiteter Funktoren.