Projektive Auflösung

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie und der homologischen Algebra ist eine projektive Auflösung eine lange exakte Sequenz aus projektiven Objekten, die in einem gegebenen Objekt endet.

Definition

Es seien ${\displaystyle C}$ eine abelsche Kategorie (oder auch die Kategorie Grp der Gruppen) und ${\displaystyle A}$ ein Objekt aus ${\displaystyle C}$. Dann heißt eine lange exakte Sequenz der Form

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}$

projektive Auflösung von ${\displaystyle A}$, wenn sämtliche ${\displaystyle P_{i}}$ projektiv sind.^[1][2]

Sind alle ${\displaystyle P_{j}}$ sogar frei, so spricht man von einer freien Auflösung.

Existenz

Ist in der abelschen Kategorie ${\displaystyle C}$ jedes Objekt Quotient eines projektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} (C)}$ einen Epimorphismus ${\displaystyle P\rightarrow X}$, in dem ${\displaystyle P}$ projektiv ist, so sagt man auch, ${\displaystyle C}$ besitze genügend viele projektive Objekte.

Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt ${\displaystyle A}$ eine projektive Auflösung. Zunächst existiert nämlich nach Voraussetzung ein Epimorphismus ${\displaystyle p_{0}\colon P_{0}\rightarrow A}$, dann weiter ein Epimorphismus ${\displaystyle p_{1}\colon P_{1}\rightarrow \operatorname {ker} (p_{0})}$ auf den Kern dieses Morphismus und dann per Induktion jeweils weiter ${\displaystyle p_{n+1}\colon P_{n+1}\rightarrow \operatorname {ker} (p_{n})}$.

Die wichtigste Kategorie mit genügend vielen projektiven Objekten ist die Kategorie ${\displaystyle \mathrm {Mod} _{R}}$ der (Links-)Moduln über einem Ring ${\displaystyle R}$. Ist ${\displaystyle A}$ ein solcher Modul und ist ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ ein Erzeugendensystem, so hat man einen surjektiven Homomorphismus ${\displaystyle R^{I}\rightarrow A}$, indem man das ${\displaystyle i}$-te Basiselement des freien Moduls ${\displaystyle R^{I}}$ auf ${\displaystyle a_{i}}$ abbildet. Da freie Moduln projektiv sind, ist ${\displaystyle A}$ Quotient eines projektiven Moduls und damit hat ${\displaystyle \mathrm {Mod} _{R}}$ genügend viele projektive Objekte.^[3]

Eigenschaften

Ist

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}$

eine projektive Auflösung und

${\displaystyle \cdots \rightarrow A'_{2}\rightarrow A'_{1}\rightarrow A'_{0}\rightarrow A'\rightarrow 0}$

exakt, so lässt sich jeder ${\displaystyle C}$-Homomorphismus ${\displaystyle f\colon A\rightarrow A'}$ (nicht notwendigerweise eindeutig) zu einem kommutativen Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}\cdots \rightarrow &P_{2}&\rightarrow &P_{1}&\rightarrow &P_{0}&\rightarrow &A&\rightarrow 0\\\cdots &\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots \rightarrow &A'_{2}&\rightarrow &A'_{1}&\rightarrow &A'_{0}&\rightarrow &A'&\rightarrow 0\end{matrix}}}$

ergänzen.^[4]

Siehe auch

• Der duale Begriff ist der der injektiven Auflösung.
• Eine Anwendung finden projektive Auflösungen in der Berechnung abgeleiteter Funktoren.
• Fundamentallemma der homologischen Algebra
• Lemma von Schanuel