Jacobis Formel

Jacobis Formel von Carl Gustav Jacob Jacobi drückt in der Analysis die Ableitungsfunktion der Determinante einer von einer Variablen t abhängenden Matrix A(t) durch die Adjunkte von A und der Ableitung von A nach t aus.^[1]

Wenn die n×n-Matrix A(t)∈ℝ^n×n eine differenzierbare Funktion eines Parameters t∈ℝ ist, dann besagt der Satz:

∂_t det(A)=Sp(adj(A)·∂_t A)

Darin bezeichnet ∂_t die Ableitung nach t. Mit dem Frobenius-Skalarprodukt „⟨,⟩“ von Matrizen, ⟨A,B⟩:=Sp(A^⊤B), kann das mit der Kofaktormatrix cof(A)=adj(A)^⊤ als

∂_t det(A)=⟨cof(A), ∂_t A⟩

notiert werden. Wenn A invertierbar ist, schreibt sich das

∂_t det(A)=det(A) ⟨A^⊤−1, ∂_t A⟩

Herleitung

Das charakteristische Polynom einer n×n-Matrix M lautet

${\displaystyle {\mathsf {det(\lambda E-M)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}}}}$

wobei E die Einheitsmatrix, c_n=1 und c_n−1=−Sp(M) ist. Mit dem Determinantenproduktsatz zeigt sich bei det(A)≠0, sodass A⁻¹ existiert, und λ=η⁻¹:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {det(A+\eta \,H)}}&={\mathsf {det{\Big (}\eta \,A{\big (}\eta ^{-1}E+A^{-1}H{\big )}{\Big )}}}={\mathsf {\eta ^{n}\,det(A)\,det{\big (}\eta ^{-1}E+A^{-1}H{\big )}}}\\&={\mathsf {\eta ^{n}det(A){\big (}\eta ^{-n}+\eta ^{1-n}\,\mathrm {Sp} (A^{-1}H)+{\mathcal {O}}(\eta ^{2-n}){\big )}}}\\&={\mathsf {det(A)\left(1+\eta \,\mathrm {Sp} (A^{-1}H)+{\mathcal {O}}(\eta ^{2})\right)}}.\end{aligned}}}$

worin das Landau-Symbol 𝓞(η²) Terme zusammenfasst, die η in mindestens zweiter Ordnung enthalten und die im folgenden Grenzwert nichts beitragen.

So berechnet sich die Richtungsableitung

${\displaystyle {\mathsf {D_{H}det(A):=\lim _{\eta \to 0}{\frac {det(A+\eta \,H)-det(A)}{\eta }}=det(A)\,\mathrm {Sp} (A^{-1}H)}}}$

und nach der Kettenregel die Ableitung

∂_t det(A) = det(A) Sp(A⁻¹ ∂_t A) = Sp(adj(A) ∂_t A) = ⟨cof(A), ∂_t A⟩

Die Menge der invertierbaren Matrizen ∈ℝ^n×n sind eine dichte Teilmenge des Matrizenraums ℝ^n×n, weswegen die Formel für alle quadratischen Matrizen gilt.

Eulersche Formel

Die Determinante des Deformationsgradienten F gibt das Verhältnis eines (infinitesimal kleinen) Volumens eines Körpers im Ausgangszustand dV und in seinem aktuellen deformierten Zustand dv:

det(F)=dv/dV>0

Die Zeitableitung hiervon ist nach Jacobis Formel

∂t det(F)	=⟨cof(F), ∂t F⟩
	=det(F)⟨F⊤−1, ∂t F⟩
	=det(F) Sp(F−1 · ∂t F)
	=det(F) Sp(∂t F · F−1)
	=det(F) Sp(l)
	=det(F) div(${\displaystyle {\vec {v}}}$)

Darin l=∂_t F · F⁻¹ der Geschwindigkeitsgradient, dessen Spur die Divergenz div der Strömungsgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ist. Diese Divergenz gibt die Quellendichte in der Strömung an, die demnach genau dann verschwindet, wenn die Determinante des Deformationsgradienten zeitlich konstant ist. Dieses Ergebnis ist als eulersche Formel bekannt.^[2]