Komplementärbasis

Eine Komplementärbasis eines Unterraums bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine Basis des zugehörigen orthogonalen Komplements.

Definition

Es seien ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle U}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ ein durch die Familie bzw. das System ${\displaystyle (\mathbf {w} _{i})_{i=1,\ldots ,n},\mathbf {w} _{i}\in V}$ von Vektoren erzeugter Unterraum von ${\displaystyle V}$. Dann heißt das System ${\displaystyle (\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})}$ Komplementärbasis von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle V}$, falls diese Vektoren eine Basis des orthogonalen Komplements ${\displaystyle U^{\perp }:=W}$ bilden.

${\displaystyle U^{\perp }}$ ist also ein komplementärer Unterraum von ${\displaystyle U}$ und die Vektoren ${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}}$ bilden dazu eine Basis des orthogonalen Komplements ${\displaystyle U^{\perp }}$.

Alternative Formulierung für endlich-dimensionale Vektorräume

Seien ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ Skalare aus dem Körper ${\displaystyle K}$. Dann lässt sich eine Komplementärbasis auch dadurch definieren, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen:

1. Lässt sich ein Element ${\displaystyle u\in U}$ aus der Linearkombination ${\displaystyle a_{1}\cdot \mathbf {w} _{1}+\ ...\ +a_{n}\cdot \mathbf {w} _{n}=u}$ darstellen, so muss folgen, dass ${\displaystyle u=0}$ und alle Koeffizienten ${\displaystyle a_{i}=0}$ (für ${\displaystyle i=1,...,n}$) sind.
2. Die Vektoren ${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}}$ erzeugen zusammen mit ${\displaystyle U}$ den Vektorraum ${\displaystyle V}$.

(Wenn die erste Bedingung erfüllt ist, dann nennt man die Vektoren ${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}}$ auch linear unabhängig modulo ${\displaystyle U}$.)

Eigenschaften

• Sei ${\displaystyle V}$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und ${\displaystyle U}$ ein Untervektorraum.

1. Es gilt ${\displaystyle V=U\oplus U^{\perp }}$, folglich auch ${\displaystyle \dim(U^{\perp })=\dim V-\dim U}$.
2. Sei ${\displaystyle (u_{1},\ldots ,u_{s})}$ eine Basis von ${\displaystyle U}$. Genau dann ist ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{t})}$ eine Komplementärbasis von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle V}$, wenn ${\displaystyle (u_{1},\ldots ,u_{s},v_{1},\ldots ,v_{t})}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$ ist.

• Jede Folge, die linear unabhängig modulo ${\displaystyle U}$ ist, lässt sich zu einer Komplementärbasis von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle V}$ ergänzen.

Quellen

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 1.5. und 7.2