Kriterium von Dirichlet

Das Kriterium von Dirichlet ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für Reihen. Es gehört zur Gruppe der direkten Kriterien.

Dirichlet-Kriterium für Konvergenz

Kriterium

Die Reihe

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }a_{k}b_{k}}$

mit ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {R} ,b_{k}\in \mathbb {C} }$ konvergiert, wenn ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ eine monoton fallende Nullfolge ist und die Folge ${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ der Partialsummen

${\displaystyle B_{n}=\sum \limits _{k=0}^{n}b_{k}}$

beschränkt ist.^[1]

Beweis

Es gilt (siehe Partielle Summation)

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}a_{k}b_{k}=a_{n+1}B_{n+1}+\sum \limits _{k=0}^{n}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$.

Der erste Summand konvergiert gegen null, da ${\displaystyle B_{n}}$ voraussetzungsgemäß durch eine Konstante ${\displaystyle M}$ beschränkt ist und ${\displaystyle a_{n}}$ gegen null konvergiert. Der zweite Summand konvergiert sogar absolut, denn ${\displaystyle a_{k}-a_{k+1}\geq 0}$ für alle ${\displaystyle k}$ und damit

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n}\left|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})\right|\leq \sum \limits _{k=0}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M(a_{0}-a_{n+1})\rightarrow Ma_{0}}$.

Damit ist alles gezeigt.

Dirichlet-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz

Die Reihe

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }a_{k}(x)b_{k}(x)}$

ist im Intervall ${\displaystyle J}$ gleichmäßig konvergent, wenn dort die Partialsummen der Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum b_{k}(x)}$ gleichmäßig beschränkt sind und wenn dort die Folge ${\displaystyle (a_{k}(x))}$ gleichmäßig gegen null konvergiert, und zwar für jedes feste ${\displaystyle x}$ monoton.^[2]

Siehe auch

• Kriterium von Abel
• Leibniz-Kriterium (behandelt den Spezialfall ${\displaystyle b_{k}=(-1)^{k}}$)