Laurent-Polynom

Ein Laurent-Polynom (nach Pierre Alphonse Laurent) ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung des Begriffs Polynom. Beim Laurent-Polynom sind auch negative Exponenten zugelassen.

Definition

Ein Laurent-Polynom über einem kommutativen Ring ${\displaystyle R}$ ist ein Ausdruck der Form

${\displaystyle p(X)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }a_{k}X^{k},\quad a_{k}\in R}$,

bei dem nur endlich viele Ringelemente ${\displaystyle a_{k}}$ von 0 verschieden sind. Ein Laurent-Polynom kann also als eine Laurent-Reihe mit nur endlich vielen von 0 verschiedenen Koeffizienten angesehen werden.

Der Ring der Laurent-Polynome

Mit Laurent-Polynomen rechnet man formal wie folgt:

Addition: ${\displaystyle {}\quad \quad \sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}X^{i}\,+\,\sum _{i\in \mathbb {Z} }b_{i}X^{i}=\sum _{i\in \mathbb {Z} }(a_{i}+b_{i})X^{i}}$,

Multiplikation: ${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}X^{i}\,\cdot \,\sum _{j\in \mathbb {Z} }b_{j}X^{j}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(\sum _{i,j:i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^{k}}$.

Diese Operationen machen die Menge ${\displaystyle R[X,X^{-1}]}$ zu einem Ring, dem sogenannten Laurent-Ring über ${\displaystyle R}$. Es handelt sich sogar um einen R-Modul, wenn man die Multiplikation mit Elementen ${\displaystyle a\in R}$ in naheliegender Weise wie folgt definiert:

Skalare Multiplikation: ${\displaystyle a\cdot \sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}X^{i}\,=\,\sum _{i\in \mathbb {Z} }(aa_{i})\,X^{i}}$.

In vielen Anwendungen ist ${\displaystyle R}$ ein Körper, ${\displaystyle R[X,X^{-1}]}$ ist dann eine ${\displaystyle R}$-Algebra.

Eigenschaften

• Man erhält ${\displaystyle R[X,X^{-1}]}$ aus dem Polynomring ${\displaystyle R[X]}$, indem man die Unbestimmte ${\displaystyle X}$ invertiert. Der Laurent-Ring über ${\displaystyle R}$ ist damit die Lokalisierung von ${\displaystyle R[X]}$ nach der von den positiven Potenzen von ${\displaystyle X}$ erzeugten Halbgruppe.
• Die Einheiten von ${\displaystyle R[X,X^{-1}]}$ sind von der Form ${\displaystyle aX^{i}}$, wobei ${\displaystyle a\in R}$ eine Einheit und ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$ ist.
• Der Laurent-Ring über ${\displaystyle R}$ ist isomorph zum Gruppenring von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ über ${\displaystyle R}$.

Derivationen des Laurent-Rings

Es sei ${\displaystyle R}$ ein Körper. Dann ist die Menge der Derivationen auf ${\displaystyle R[X,X^{-1}]}$ eine Lie-Algebra. Die formale Ableitung

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X}}:\,\sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}X^{i}\mapsto \sum _{i\in \mathbb {Z} }i\cdot a_{i}X^{i-1}}$

ist eine solche Derivation. Daher ist auch für jedes ${\displaystyle p(X)\in R[X,X^{-1}]}$ durch die Definition ${\displaystyle \textstyle T_{p(X)}:=p(X){\frac {\partial }{\partial X}}}$ eine Derivation gegeben. Dies ist die allgemeinste Derivation auf ${\displaystyle R[X,X^{-1}]}$. Ist nämlich ${\displaystyle T}$ eine solche Derivation, so ist ${\displaystyle p(X):=T(1\cdot X)\in R[X,X^{-1}]}$ und man kann ${\displaystyle T=T_{p(X)}}$ zeigen.^[1]

Die Derivationen ${\displaystyle \textstyle d_{n}:=T_{-X^{n+1}}=-X^{n+1}{\frac {\partial }{\partial X}},\,n\in \mathbb {Z} }$, bilden daher eine Basis. Durch eine kurze Rechnung bestätigt man die Kommutatorrelationen

• ${\displaystyle [d_{m},d_{n}]\,=\,(m-n)d_{m+n}}$ für alle ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$.

(siehe Witt-Algebra). Weiter gilt

• ${\displaystyle d_{0}(X^{n})=-n\cdot X^{n}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.

Daher nennt man ${\displaystyle -d_{0}\,}$ auch die Grad-Derivation.