Lehmer-Mittel

In der Mathematik ist das Lehmer-Mittel ein nach Derrick Henry Lehmer benannter, verallgemeinerter Mittelwert.

Definition

Das Lehmer-Mittel ${\displaystyle n}$ positiver reeller Zahlen ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ zur Stufe ${\displaystyle p}$ ist wie folgt definiert:

${\displaystyle L_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}^{p}}{\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}^{p-1}}}.}$

Es gibt auch eine Form des Lehmer-Mittels mit (positiven) Gewichten ${\displaystyle w=(w_{1},\ldots ,w_{n})}$. Das gewichtete Lehmer-Mittel ist:

${\displaystyle L_{p,w}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}w_{k}a_{k}^{p}}{\sum \limits _{k=1}^{n}w_{k}a_{k}^{p-1}}}.}$

Eigenschaften

Für das Lehmer-Mittel gilt

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }L_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\min\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$ ist der Minimalwert.
• ${\displaystyle L_{0}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {n}{\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{a_{k}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}$ ist das harmonische Mittel.
• Für ${\displaystyle n=2}$ ist ${\displaystyle L_{\frac {1}{2}}(a_{1},a_{2})={\frac {{\sqrt {a_{1}}}+{\sqrt {a_{2}}}}{{\frac {1}{\sqrt {a_{1}}}}+{\frac {1}{\sqrt {a_{2}}}}}}={\sqrt {a_{1}a_{2}}}}$ das geometrische Mittel.
• ${\displaystyle L_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}}{n}}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}}$ ist das arithmetische Mittel.
• ${\displaystyle L_{2}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}^{2}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}}$ ist das schon Eudoxos von Knidos bekannte kontraharmonische Mittel^[1].
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }L_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\max\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$ ist der Maximalwert.

Das kontraharmonische Mittel ist im Gegensatz zu den anderen fünf Spezialfällen nicht monoton^[2], d. h. aus ${\displaystyle a_{i}\leq b_{i}}$ für alle ${\displaystyle i}$ folgt nicht ${\displaystyle L_{2}(a_{1},\ldots ,a_{n})\leq L_{2}(b_{1},\ldots ,b_{n})}$.