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Liouville-Funktion

mathematische Funktion Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

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Die Liouville-Funktion, benannt nach Joseph Liouville, ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet und ist wie folgt definiert:

dabei bezeichnet die Ordnung von , also die Anzahl seiner (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren.

Man definiert außerdem und .

Die ersten Werte (beginnend bei ) sind

1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, … (OEIS,A008836[1])[2]
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Eigenschaften

Zusammenfassung
Kontext

Es gilt[3]

Die Liouville-Funktion ist verwandt mit der Möbius-Funktion durch[4]

Reihen

Die Dirichlet-Reihe der Liouville-Funktion lässt sich durch die riemannschen Zeta-Funktion ausdrücken:[5]

Ihre Lambert-Reihe ist gegeben durch

wobei die Jacobische Theta-Funktion bezeichnet.

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Summen

Zusammenfassung
Kontext
Thumb
Graph von bis n=10.000
Thumb
Graph von bis

Es sei

Die Pólya-Vermutung besagt, es sei – wie die Grafiken rechts vermuten lassen – stets[6]

Diese Vermutung wurde mittlerweile widerlegt; das kleinste Gegenbeispiel ist . Es ist bisher allerdings nicht bekannt, ob sein Vorzeichen unendlich oft wechselt.

Eine verwandte Summe ist

Für diese wurde vermutet, sie sei für hinreichend große stets positiv; dies wurde 1958 von dem englischen Mathematiker Colin Brian Haselgrove widerlegt, wobei er zeigte, dass unendlich oft negative Werte annimmt.[7] Ein Beweis der Vermutung hätte die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung zur Folge gehabt.[8]

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Chowla-Vermutung

Eine Vermutung von Sarvadaman Chowla[9] besagt, dass für verschiedene natürliche Zahlen gilt:

(das heißt die Summe verschwindet asymptotisch mit , siehe Landau-Symbole). Die Vermutung ist offen für . Fortschritte erzielten 2015 Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill und Terence Tao in Bezug auf eine gemittelte Version der Vermutung.[10] Die Vermutung lässt sich auch für die Möbiusfunktion statt der Liouvillefunktion formulieren.

Eine andere Formulierung der Vermutung ist, dass das Muster der Werte von für eine zufällig gewählte natürliche Zahl und beliebige asymptotisch für gleichverteilt ist.[11]

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Einzelnachweise

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