Liouvillesche Zahl

Als Liouvillesche Zahl, benannt nach Joseph Liouville, bezeichnet man in der Zahlentheorie eine reelle Zahl ${\displaystyle x,}$ die ein Irrationalitätsmaß von ${\displaystyle \infty }$ besitzt, also die Bedingung erfüllt, dass für jedes natürliche ${\displaystyle n}$ ganze Zahlen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ mit ${\displaystyle q>1}$ existieren, sodass gilt:

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}$

Irrationalität und Transzendenz

Alle Liouvilleschen Zahlen sind irrational: Für jede rationale Zahl ${\displaystyle x={\tfrac {c}{d}}}$ mit ganzzahligem Zähler ${\displaystyle c}$ und ganzzahligem Nenner ${\displaystyle d>0}$ gibt es eine ganze Zahl ${\displaystyle n>0}$ mit ${\displaystyle 2^{n-1}>d}$ (vgl. Archimedisches Axiom). Wenn nun ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ ganze Zahlen mit ${\displaystyle q>1}$ und ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\neq {\tfrac {c}{d}}}$ sind, dann gilt:

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c\,q-p\,d}{d\,q}}\right|\geq {\frac {1}{d\,q}}>{\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}}$

1844 zeigte Liouville, dass Zahlen mit dieser Eigenschaft nicht nur irrational sind, sondern auch transzendent. Dies war der erste Beweis der Transzendenz einer Zahl, der Liouvilleschen Konstante:

${\displaystyle c=\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{j!}}}={\frac {1}{10^{1}}}+{\frac {1}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{6}}}+{\frac {1}{10^{24}}}+\dotsb =0{,}11000{\text{ }}10000{\text{ }}00000{\text{ }}00000{\text{ }}00010{\text{ }}\ldots {\text{ }}}$ (Folge A012245 in OEIS)

Alle Liouvilleschen Zahlen sind transzendent, aber nicht alle transzendenten Zahlen sind Liouvillesch. So sind beispielsweise die Eulersche Zahl e und die Kreiszahl π transzendent, aber nicht Liouvillesch.

Literatur

• Joseph Liouville: Nouvelle démonstration d’un théorème sur les irrationelles algébriques, inséré dans le Compte rendu de la dernière séance. In: Comptes rendus de l’Académie des sciences. Band 18, 1844, S. 910–911 (Digitalisat [abgerufen am 24. November 2020]).
• S. V. Kotov: Liouville number. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Liouville’s Constant. In: MathWorld (englisch).