Nagel-Punkt

Der Nagel-Punkt, benannt nach dem deutschen Mathematiker Christian Heinrich von Nagel (1803–1882), der 1835/36 die Existenz dieses Punktes aufzeigte, gehört zu den besonderen Punkten eines Dreiecks. Für ein gegebenes Dreieck ABC betrachtet man die Punkte D, E und F, in denen die Ankreise die Seiten des Dreiecks berühren. Verbindet man diese Berührpunkte mit den gegenüber liegenden Ecken des Dreiecks (also mit A, B bzw. C), so schneiden sich diese Verbindungsstrecken in einem Punkt N. Dieser wird als Nagel-Punkt des Dreiecks bezeichnet.^[1]

Nagel-Punkt N

Eigenschaften

• Betrachtet man außer dem Nagel-Punkt N des Dreiecks ABC auch den Inkreismittelpunkt I und den Schwerpunkt S, dann liegen die Punkte N, S und I auf einer Geraden, der Nagel-Geraden, und es gilt ${\displaystyle {\overline {NS}}:{\overline {SI}}=2:1}$, wobei der Schwerpunkt S zwischen den Punkten N und I liegt.^[2] In dieser Eigenschaft weist die Nagel-Gerade eine Analogie zur eulerschen Geraden auf.
• Der Spieker-Punkt ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von Nagel-Punkt und Inkreismittelpunkt und liegt somit ebenfalls auf der Nagel-Geraden.^[2]
• Der Nagelpunkt und der Gergonne-Punkt sind isotomisch konjugiert.^[3]

Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten des Nagel-Punkts (${\displaystyle X_{8}}$) sind (gleichwertig)

${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}\,:\,{\frac {c+a-b}{b}}\,:\,{\frac {a+b-c}{c}}}$ oder

${\displaystyle \csc ^{2}{\frac {\alpha }{2}}:\csc ^{2}{\frac {\beta }{2}}:\csc ^{2}{\frac {\gamma }{2}}}$.^[3]

Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig)

${\displaystyle (b+c-a)\,:\,(c+a-b)\,:\,(a+b-c)}$ oder

${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}:\cot {\frac {\beta }{2}}:\cot {\frac {\gamma }{2}}}$.^[3]

Dabei sind ${\displaystyle a,b,c}$ die Seitenlängen des Dreiecks und ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ die Größen der Innenwinkel.

Literatur

• Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv 71, 1987, 2, S. 230–233
• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 225–229 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
• Edwin Kozniewski, Renata A. Gorska: Gergonne and Nagel Points for Simplices in the n-Dimensional Space. Journal for Geometry and Graphics, Band 4, 2000, Nr. 2, S. 119–127
• Victor Thébault: Nagel Point in the Tetrahedron. The American Mathematical Monthly, Band 54, Nr. 5 (Mai, 1947), S. 275–276 (JSTOR:2305352)

Weblinks

• Eric W. Weisstein. „Nagel Point.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource
• The Nagel and Gergonne Points
• Heinz Klemenz: Merkwürdiges im Dreieck