Orthant

Ein Orthant bezeichnet in der Geometrie die Teilmenge des ${\displaystyle d}$-dimensionalen Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, die auf jeweils genau einer Seite der durch den Ursprung verlaufenden achsenparallelen Hyperebenen liegt. Ein Orthant ist damit eine Menge der Form

${\displaystyle \{x=(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}\mid x_{i}\cdot d_{i}\geq 0\}}$,

wobei die ${\displaystyle d_{i}\in \{-1,1\}}$ für ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,d\}}$ fest gewählt sind.^[1][2]

Daraus folgt, dass es genau ${\displaystyle 2^{d}}$ Orthanten gibt. Genauer spricht man von abgeschlossenen Orthanten, denn es handelt sich um abgeschlossene Mengen. Die offenen Orthanten erhält man, wenn man in obiger Definition das ${\displaystyle \geq }$ durch die strikte Ungleichung ${\displaystyle >}$ ersetzt.

Manche Autoren betrachten auch um einen festen Vektor verschobene Orthanten. So wird in^[3] die Menge ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{d}\mid x\leq a\}}$ als der untere Orthant an den Vektor ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{d}}$ bezeichnet.

Beispiele

• Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ sind die Orthanten die vier Quadranten des kartesischen Koordinatensystems.

• Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ nennt man die acht Orthanten entsprechend Oktanten.