Parametertransformation

Als Parametertransformation wird in der Analysis eine stetige und streng monotone Abbildung bezeichnet, die den Parameter eines Weges ändert.

Formale Definition

Sind ${\displaystyle \gamma _{1}\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle \gamma _{2}\colon [\alpha ,\beta ]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ zwei Wege und ist ${\displaystyle f\colon [a,b]\rightarrow [\alpha ,\beta ]}$ eine stetige und streng monotone Funktion mit

${\displaystyle \gamma _{1}(t)=\gamma _{2}(f(t))}$ für alle ${\displaystyle t\in [a,b]}$, also ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\circ f}$,

so nennt man ${\displaystyle f}$ eine Parametertransformation.^[1] Man nennt ${\displaystyle \gamma _{1}}$ dann auch eine Umparametrisierung von ${\displaystyle \gamma _{2}}$ mittels ${\displaystyle f}$.^[2]

Ist ${\displaystyle f}$ streng monoton wachsend, so wird die Parametertransformation orientierungstreu genannt. Falls die Parametertransformation ${\displaystyle f}$ streng monoton fallend ist, wird sie orientierungsumkehrend genannt.

Wenn ${\displaystyle f}$ und die Umkehrfunktion ${\displaystyle f^{-1}}$ stetig differenzierbar sind, dann nennt man ${\displaystyle f}$ eine ${\displaystyle C^{1}}$-Parametertransformation.

Eigenschaften

• Durch die Parametertransformation ändert sich der Weg, nicht jedoch die zugehörige Kurve.^[3]
• Der Weg ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ist genau dann rektifizierbar, wenn ${\displaystyle \gamma _{2}}$ rektifizierbar ist. In diesem Fall sind die Weglängen von ${\displaystyle \gamma _{1}}$ und ${\displaystyle \gamma _{2}}$ gleich.^[4]

Literatur

• Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rⁿ, gewöhnliche Differentialgleichungen. 8. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0575-1, S. 44–46.