Pascalsche Pyramide

Die Pascalsche Pyramide ist die dreidimensionale Verallgemeinerung des Pascalschen Dreiecks. Sie enthält die Multinomialkoeffizienten dritter Ordnung (Trinomialkoeffizient), d. h. die Koeffizienten von ${\displaystyle (a+b+c)^{n}}$ stehen auf Ebene n+1. Wie im Pascalschen Dreieck beginnt die Pascalsche Pyramide mit einer einzelnen 1 auf der obersten Ebene (der „Spitze“ der Pyramide). Jede weitere Zahl ist die Summe der drei über ihr stehenden Zahlen. Alle besonderen Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks (siehe z. B. Sierpinski-Dreieck, Symmetrie) lassen sich sinngemäß auch auf die Pascalsche Pyramide anwenden.

Die ersten fünf Ebenen der Pascalschen Pyramide

Alternative Konstruktion

Die Trinomialkoeffizienten sind gegeben durch

${\displaystyle {\frac {(i+j+k)!}{i!\,j!\,k!\;}}}$ mit ${\displaystyle \;i+j+k=n\,.}$

Die Identität

${\displaystyle {\frac {(i+j+k)!}{i!\,j!\,k!}}={\frac {(i+j+k)!}{(i+j)!\,k!}}\cdot {\frac {(i+j)!}{i!\,j!}}}$

legt folgende Konstruktionsvorschrift für die (n+1)-te Ebene nahe:

1. Bilde zunächst die drei Seiten des Dreiecks. Diese entsprechen der (n+1)-ten Zeile im Pascalschen Dreieck.
2. Fülle nun die m-te Zeile mit den Einträgen aus der m-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks, multipliziert mit dem an den Seiten bereits eingetragenen Faktor.

Die ersten sieben Ebenen

1. Ebene

                     1

2. Ebene

                     1 
  
                  1     1

3. Ebene

                     1 

                  2     2

               1     2     1

4. Ebene

                     1

                  3      3 

               3     6      3

            1     3      3     1

5. Ebene

                     1

                  4      4

               6    12      6

            4    12     12     4

         1     4     6      4     1

6. Ebene

                      1

                   5     5

               10    20    10

            10    30    30    10

          5    20    30    20     5

       1     5    10    10     5     1

7. Ebene

                      1

                   6     6

               15    30    15

            20    60    60    20

         15    60    90    60    15

       6    30    60    60    30     6

    1     6    15    20    15     6     1

Eigenschaften

• Die Summe aller Zahlen der Ebene n ist: ${\displaystyle 3^{n-1}}$
• Die Summe aller Zahlen von der ersten bis zur n-ten Ebene ist: ${\displaystyle {\frac {3^{n}-1}{2}}}$

Zusammenhang mit dem Sierpinski-Tetraeder

Werden im Pascalschen Tetraeder gerade und ungerade Zahlen unterschieden, ergibt sich ein Zusammenhang mit dem Sierpinski-Tetraeder. Die geraden Zahlen entsprechen dabei den Lücken im Sierpinski-Tetraeder. Dabei müssen ${\displaystyle 2^{a}}$ Ebenen berücksichtigt werden, um den ${\displaystyle a}$-ten Iterationsschritt bei der Konstruktion des Sierpinski-Tetraeders zu erhalten.

Verallgemeinerung

Analog lässt sich das ${\displaystyle n}$-dimensionale Pascalsche Simplex aus den weiteren Multinomialkoeffizienten definieren.

Siehe auch

Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Polynom, Binomialkoeffizient

Weblinks

• Pascal’s Simplices. Department of Mathematics, Rutgers University im US-Bundesstaat New Jersey (englisch; abgerufen am 31. Oktober 2010)