Pascalsches Simplex

Die pascalschen Simplizes sind – analog zum pascalschen Dreieck und zum pascalschen Tetraeder – geometrische Darstellungen von Multinomialkoeffizienten. Im pascalschen d-Simplex ist jede Zahl die Summe von d über ihr stehenden Zahlen. Die vom pascalschen Dreieck und Tetraeder bekannten Eigenschaften lassen sich auf pascalsche Simplizes übertragen.^[1]

Zum Begriff

Ein pascalsches Simplex lässt sich in jeder Dimension ${\displaystyle d}$ (${\displaystyle d\geq 1}$ natürliche Zahl) vorstellen: Jedem Punkt mit ganzzahligen Koordinaten lässt sich über diese der Multinomialkoeffizient ${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{d}}}}$ zuordnen (${\displaystyle n,k_{1},\ldots ,k_{d-1}}$ sind die jeweiligen Koordinaten, ${\displaystyle k_{d}}$ ergibt sich durch ${\displaystyle n-k_{1}-\ldots -k_{d-1}}$). Die Einhüllende der Punkte, die nicht Null sind, bilden dann ein ${\displaystyle d}$-dimensionales, in ${\displaystyle n}$-Richtung unbeschränktes „Simplex“ (üblicherweise ist ein Simplex beschränkt).

Eigenschaften

• Die ${\displaystyle n}$-te Ebene eines pascalschen Simplex (d. h. die nicht verschwindenden Einträge für ein festes ${\displaystyle n}$) für ${\displaystyle n>0}$ lässt sich aus der darüberliegenden Ebene (d. h. für ${\displaystyle n-1}$) berechnen: ${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{d}}}={\binom {n-1}{k_{1}-1,\ldots ,k_{d}}}+{\binom {n-1}{k_{1},k_{2}-1,\ldots ,k_{d}}}+\ldots +{\binom {n-1}{k_{1},\ldots ,k_{d}-1}}}$. Auf der Ebene ${\displaystyle 0}$ ist der einzige Eintrag eine ${\displaystyle 1}$, aus dem sich dann rekursiv alle weiteren ergeben.
• Die Summe aller Zahlen im n-ten (d-1)-Teilsimplex beträgt ${\displaystyle d^{n-1}}$.
• Die begrenzenden (d-1)-Simplizes sind gleich dem pascalschen (d-1)-Simplex. Dies lässt sich durch ${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},...,k_{d-1},0}}={\binom {n}{k_{1},...,k_{d-1}}}}$ ausdrücken.