Polytrope Zustandsänderung

In der Thermodynamik wird eine Zustandsänderung eines Systems, in der für Druck ${\displaystyle p}$ und spezifisches Volumen ${\displaystyle v}$ die Gleichung ${\displaystyle pv^{n}=\mathrm {const} }$ gilt, als polytrop bezeichnet. Der Exponent ${\displaystyle n}$ wird Polytropenexponent genannt. Bei technischen Vorgängen kann der Polytropenexponent als konstant angesehen werden.^[1] Eine Polytrope nimmt im p-v-Diagramm die Form einer Potenzfunktion mit negativer Steigung an.

Sonderfälle der polytropen Zustandsänderung sind:

Spezialfälle der polytropen Zustandsänderung

• ${\displaystyle n=0}$ : isobar
• ${\displaystyle n=1}$ : isotherm
• ${\displaystyle n=\infty }$ : isochor
• ${\displaystyle n=\kappa ={\frac {c_{\mathrm {p} }}{c_{\mathrm {v} }}}}$ : isentrop oder auch adiabat-reversibel

Die einem Gas während dieser Zustandsänderung zugeführte Wärme ist gegeben durch:^[2]

${\displaystyle Q_{12}=m\ c_{\mathrm {v} }{\frac {n-\kappa }{n-1}}\ (T_{2}-T_{1})}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle m}$ die Masse, ${\displaystyle T_{1}}$ und ${\displaystyle T_{2}}$ Anfangs- und Endtemperatur des Prozesses. Die Polytropie zeichnet sich durch eine feste Wärmekapazität aus, welche sich aus ${\displaystyle c_{\mathrm {p} }}$, ${\displaystyle c_{\mathrm {v} }}$ und ${\displaystyle n}$ ergibt.

Man spricht auch von polytroper Zustandsgleichung:

${\displaystyle p=K\cdot \rho ^{n}}$

mit dem Druck ${\displaystyle p}$, der Dichte ${\displaystyle \rho }$, der Polytropenkonstante ${\displaystyle K}$ und dem Polytropenexponenten ${\displaystyle n}$. (Gelegentlich wird auch der Polytropenindex ${\displaystyle m}$ durch ${\displaystyle n=1+{\frac {1}{m}}}$ eingeführt.^[3]). Sie findet zum Beispiel Anwendung in der Astrophysik (Lane-Emden-Gleichung).

Ideale Gase

Für ideale Gase gelten außerdem folgende Beziehungen:

${\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}=\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {n-1}{n}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{n-1}}$ bzw.

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}=\left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {n}{n-1}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{n}}$

mit

${\displaystyle T}$: absolute Temperatur

${\displaystyle p}$: Druck

${\displaystyle V}$: Volumen

${\displaystyle n}$: Polytropenexponent.

Bei der isentropen Zustandsänderung eines idealen Gases gilt ${\displaystyle n=c_{\mathrm {p} }/c_{\mathrm {v} }}$. Mit der isobaren Wärmekapazität ${\displaystyle c_{\mathrm {p} }}$ und der isochoren Wärmekapazität ${\displaystyle c_{\mathrm {v} }}$. Bei zweiatomigen Gasen kann ${\displaystyle n=1{,}403}$ (beispielsweise Luft als Gasgemisch) und bei einatomigen Gasen (Edelgasen) ${\displaystyle n=1{,}66}$ angesetzt werden.

Literatur

• Andreas Heintz: Gleichgewichtsthermodynamik. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-39676-2, S. 192–195.
• Andreas Müller: Polytrop. In: Lexikon der Astronomie. 2014 (spektrum.de).
• Dieter Winklmair - Energie- und Wärmetechnik (Skript, PDF) (1,08 MB)