Q-Analogon

Ein ${\displaystyle q}$-Analogon (Pl. ${\displaystyle q}$-Analoga) ist ein mathematischer Begriff, welcher insbesondere in der Kombinatorik auftritt. Ein ${\displaystyle q}$-Analogon verallgemeinert dabei eine mathematische Aussage mit Hilfe eines zusätzlichen Parameters ${\displaystyle q}$, so dass man im Fall ${\displaystyle q\to 1}$ wieder die ursprüngliche Aussage erhält. Der Begriff spielt auch eine wichtige Rolle in der Theorie der speziellen Funktionen insbesondere in der Theorie der ${\displaystyle q}$-Polynome.

Elementare Beispiele

Eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ besitzt das ${\displaystyle q}$-Analogon

${\displaystyle [n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1},}$

da ${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n}$.

Kombinatorik

q-Fakultät

Die ${\displaystyle q}$-Fakultät ist für ${\displaystyle n>0}$^[1]

${\displaystyle [n]_{q}!:=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [1]_{q}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {1-q^{k}}{1-q}},}$

und ${\displaystyle [0]_{q}!:=1}$.

Durch ausmultiplizieren erhält man

${\displaystyle [n]_{q}!=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).}$

q-Pochhammer-Symbol

Das ${\displaystyle q}$-Pochhammer-Symbol, auch ${\displaystyle q}$-Shiftfakultät genannt, ist

${\displaystyle (a;q)_{n}:=\prod \limits _{k=1}^{n}(1-aq^{k-1})}$

oder allgemeiner

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}:=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}$

q-Binomialkoeffizient

Der ${\displaystyle q}$-Binomialkoeffizient ist

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[k]_{q}![n-k]_{q}!}}=\prod \limits _{j=1}^{k}{\frac {(1-q^{n-j+1})}{(1-q^{j})}}.}$

Eigenschaften

Es gilt

${\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}}$

und

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}.}$

q-Spezielle Funktionen

q-hypergeometrische Funktion

Das ${\displaystyle q}$-Analogon der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ist die ${\displaystyle q}$-hypergeometrische Funktion^[1]

${\displaystyle \;_{r}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{r}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{s}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s};q)_{n}}}z^{n}\left(-q^{(n-1)/2}\right)^{n(s+1-r)}.}$

q-orthogonale Polynome

Die stetigen ${\displaystyle q}$-Hermitischen Polynome ${\displaystyle \{H_{n}(x\mid q)\}}$ sind durch folgende Rekursion gegeben^[2]

${\displaystyle 2xH_{n}(x\mid q)=H_{n+1}(x\mid q)+(1-q^{n})H_{n-1}(x\mid q)}$

mit Anfangswerten

${\displaystyle H_{0}(x\mid q)=1,H_{1}(x\mid q)=2x.}$

Analysis

Das ${\displaystyle q}$-Analogon der Exponentialfunktion ist

${\displaystyle e_{q}^{x}:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}$

q-Kalkül

Das ${\displaystyle q}$-Analogon der Ableitung einer Funktion ${\displaystyle f}$ ist die Q-Differenz

${\displaystyle (D_{q}f)(x)={\frac {f(x)-f(qx)}{(1-q)x}},}$

dadurch entsteht das sogenannte ${\displaystyle q}$-Kalkül.

q-Taylorreihe

Das ${\displaystyle q}$-Analogon von ${\displaystyle (x-a)^{n}}$ ist

${\displaystyle (x-a)_{q}^{n}:=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(x-q^{k}a),}$

zusammen mit der ${\displaystyle q}$-Differenz und der ${\displaystyle q}$-Fakultät lässt sich nun ein ${\displaystyle q}$-Analogon zur Taylorreihe für ${\displaystyle f}$ herleiten

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {D_{q}^{n}f(a)(x-a)_{q}^{n}}{[n]_{q}!}}.}$

Literatur

• Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, doi:10.1017/CBO9781107325982.