Rayleighsche Dissipationsfunktion

Die Rayleighsche Dissipationsfunktion ist ein von Lord Rayleigh 1876^[1][2] eingeführter Ansatz für eine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft in der klassischen Mechanik. Er lässt sich auch im Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik formulieren.

Der Lagrangeformalismus beschreibt die Dynamik eines Systems über die Lagrangefunktion ${\displaystyle L=T-V}$ (mit ${\displaystyle T}$ der kinetischen Energie und ${\displaystyle V}$ der potentiellen Energie), wobei diese als Funktion von generalisierten Koordinaten ${\displaystyle q_{i}}$ (und ${\displaystyle {\dot {q_{i}}}}$ für die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit) aufgefasst wird (wobei der Index ${\displaystyle i}$ die Komponenten bezeichnet). Dann kann man geschwindigkeitsabhängige Reibungskräfte über eine nicht-konservative generalisierte Kraft ${\displaystyle Q_{i}^{*}}$ auf der rechten Seite der Lagrangegleichung berücksichtigen (siehe auch den Artikel Lagrange-Formalismus):

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{i}}}}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=Q_{i}^{*}}$

Rayleigh machte nun für die Reibungskraft ${\displaystyle F_{i}}$ in euklidischen Koordinaten ${\displaystyle r_{i}}$ (mit zugehöriger euklidischer Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{i}}$) folgenden Ansatz:

${\displaystyle F_{i}=-\sum _{j}\,K_{ij}\,v_{j}}$

mit der Dissipationsmatrix ${\displaystyle K_{ij}}$. Die zugehörige Dissipationsfunktion

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}\,\sum _{i,j}\,K_{ij}\,v_{i}\,v_{j}}$

ist im einfachsten Fall einer diagonalen Dissipationsmatrix^[3]

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}\,\sum _{i}\,k_{i}\,v_{i}^{2}}$

Mit der Dissipationsfunktion ist die Reibungskraft demnach:

${\displaystyle F_{i}=-{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}K}$

Beim Übergang zu generalisierten Koordinaten ${\displaystyle q_{i}}$ ergibt sich

${\displaystyle Q_{i}^{*}=\sum _{j}\,F_{j}\,{\frac {\partial r_{j}}{\partial q_{i}}}}$

Wegen ${\displaystyle v_{i}(t,q,{\dot {q}})=\sum _{k}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{k}}}\,{\dot {q_{k}}}+{\frac {\partial r_{i}}{\partial t}}}$ gilt:

${\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial {\dot {q_{k}}}}}={\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{k}}}}$

und damit

${\displaystyle Q_{i}^{*}=-\sum _{j}\,{\frac {\partial K}{\partial v_{j}}}\,{\frac {\partial v_{j}}{\partial {\dot {q_{i}}}}}=-{\frac {\partial K}{\partial {\dot {q_{i}}}}}}$

Daneben kann es auch andere, nicht durch einen Rayleigh-Ansatz beschreibbare nicht-konservative generalisierte Kräfte zur Beschreibung von Reibung geben.

Gegeben die Rayleighsche Dissipationsfunktion

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}k_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}}$

mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und Koeffizienten ${\displaystyle k_{ij}\in \mathbb {R} }$ lässt sich für

${\displaystyle T=T({\dot {q}}_{i},q_{i})}$ und ${\displaystyle V=V(q_{i})}$

die zeitliche Änderungsrate der Gesamtenergie durch Reibung wie folgt angeben:^[4]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (T+V)}{\mathrm {d} t}}=-2{\mathcal {F}}}$

In Ausdrücken von gegen Reibung verrichteter Arbeit ergibt sich für die Leistung ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle \mathrm {d} W=-\sum _{i=1}^{n}Q_{i}^{*}\mathrm {d} q_{i}=-\sum _{i,j=1}^{n}k_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\mathrm {d} t=-2{\mathcal {F}}\mathrm {d} t\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=P=-2{\mathcal {F}}}$

wobei die generalisierten Kräfte beschrieben sind durch

${\displaystyle Q_{i}^{*}=-{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$.

Literatur

• Ettore Minguzzi: Rayleigh’s Dissipation Function at Work. In: European Journal of Physics. Band 36, Nr. 3, 2015, 035014, arxiv:1409.4041.