Satz vom Dreizack

Der Satz vom Dreizack (nach den russischen Bezeichnungen лемма о трезубце (wörtlich: Lemma über den Dreizack)^[1][2] und теорема трилистника (wörtlich: Satz vom Trillium)^[3]) ist eine Aussage aus der Elementargeometrie, die eine Eigenschaft von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks beschreibt.

Satz vom Dreizack:
Alle roten Strecken sind gleich lang, vor allem:
${\displaystyle |DA|=|DI|=|DC|}$ (Dreizack).

In einem Dreieck ${\displaystyle ABC}$ sei ${\displaystyle I}$ der Mittelpunkt seines Inkreises und ${\displaystyle D}$ der Schnittpunkt von ${\displaystyle BI}$ (Winkelhalbierende in ${\displaystyle B}$) mit seinem Umkreis, dann besagt der Satz vom Dreizack:^[4]

• Die Strecken ${\displaystyle DA}$, ${\displaystyle DI}$ und ${\displaystyle DC}$ sind gleich lang, das heißt ${\displaystyle |DA|=|DI|=|DC|}$.
• ${\displaystyle A,I,C}$ liegen auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt ${\displaystyle D}$ ist. Insbesondere liegt damit der Mittelpunkt des Kreises durch ${\displaystyle A,I}$ und ${\displaystyle C}$ auf dem Umkreis des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$.

Betrachtet man zusätzlich den Mittelpunkt ${\displaystyle E}$.des Ankreises der Seite ${\displaystyle AC}$, so liegt dieser auf demselben Kreis wie ${\displaystyle A,I,C}$ sowie auf der Geraden ${\displaystyle BI}$, so dass Strecke ${\displaystyle EI}$ der Durchmesser dieses Kreises ist.^[5] Die Länge des Durchmessers beträgt dabei:

${\displaystyle |EI|=4R\sin \left({\frac {1}{2}}\angle B\right)={\frac {|AC|}{\cos \left({\frac {1}{2}}\angle B\right)}}}$^[6]

Hierbei steht ${\displaystyle R}$ für den Radius des Umkreises des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$.

Der Mittelpunkt ${\displaystyle D}$ des gemeinsamen Kreises von ${\displaystyle A,I,C,E}$ entspricht zudem dem Südpol im Südpolsatz.

Literatur

• Evan Chen: Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. AMS, 2021, ISBN 978-1-4704-6620-6, S. 9–10 (Auszug Google)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Incenter-Excenter Circle. In: MathWorld (englisch).
• A Property of Circle Through the Incenter auf cut-the-knot.org
• Midpoints of the Lines Joining In- and Excenters auf cut-the-knot.org