Satz von Cauchy (Geometrie)

Der Satz von Cauchy (auch Cauchy-Theorem, Cauchy`s Oberflächenformel) ist ein Resultat der Integralgeometrie, das auf den französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy zurückgeht und besagt, dass für jeden konvexen Körper der gemittelte Flächeninhalt seiner Parallelprojektionen in die Ebene stets ein Viertel seiner Oberfläche beträgt.

Anders formuliert: der Erwartungswert bei zufällig gewählter Projektionsrichtung für das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt der Projektion und dem Inhalt der Oberfläche des Ursprungskörpers beträgt ${\displaystyle 1/4}$.

Der Satz wurde von Cauchy 1841 und 1850 für ${\displaystyle n=2,3}$ bewiesen^[1][2] und im allgemeinen Fall von T. Kubota,^[3] Hermann Minkowski^[4] und Tommy Bonnesen.^[5][6][7]

Beispiele

Für eine Kugel ist die Gültigkeit trivial zu zeigen: das Abbild einer Kugel vom Radius ${\displaystyle r\,}$ bei paralleler Projektion in die Ebene ist stets ein Kreis vom gleichen Radius. Damit ist der Flächeninhalt jedes Bildes ${\displaystyle \pi r^{2}\,}$ und damit genau ein Viertel der Kugeloberfläche ${\displaystyle 4\pi r^{2}\,}$.

Die folgenden beiden Beispiele sollen lediglich den Sachverhalt verdeutlichen (die Werte in der rechten Spalte schwanken jeweils um den Wert ${\displaystyle 1/4}$):

• Das Bild eines Würfels mit Kantenlänge ${\displaystyle a}$ ist je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:

Projektionsrichtung	Bild	Flächeninhalt des Bildes	Verhältnis zur Würfeloberfläche ${\displaystyle 6a^{2}\,}$
parallel zu einer Kante	ein Quadrat mit Seitenlänge ${\displaystyle a\,}$	${\displaystyle a^{2}\,}$	${\displaystyle 1:6\,}$
parallel zu einer Flächendiagonale	ein Rechteck mit Seitenlängen ${\displaystyle a\,}$ und ${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle a^{2}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 1:3{\sqrt {2}}\approx 1:4{,}2}$
parallel zu einer Raumdiagonale	ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge ${\displaystyle {\frac {a}{3}}{\sqrt {6}}}$	${\displaystyle a^{2}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1:2{\sqrt {3}}\approx 1:3{,}5}$
andere Richtungen	unregelmäßige (aber punktsymmetrische) Sechsecke	unterschiedlich	unterschiedlich

• Ebenso ist das Bild eines regelmäßigen Tetraeders mit Kantenlänge ${\displaystyle a}$ je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:

Projektionsrichtung	Bild	Flächeninhalt des Bildes	Verhältnis zur Tetraederoberfläche ${\displaystyle {a^{2}}{\sqrt {3}}}$
entlang einer Kante	ein gleichschenkeliges Dreieck mit Basis ${\displaystyle a\,}$ und Höhe ${\displaystyle {\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 1:2{\sqrt {6}}\approx 1:4{,}90}$
parallel zu einer Höhe	ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge ${\displaystyle a\,}$	${\displaystyle {\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1:4\,}$
normal zu zwei windschiefen Kanten	ein Quadrat mit Seitenlänge ${\displaystyle {\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2}}}$	${\displaystyle 1:2{\sqrt {3}}\approx 1:3{,}46}$
andere Richtungen	unregelmäßige Dreiecke oder Vierecke	unterschiedlich	unterschiedlich

Verallgemeinerung

Im Fall eines konvexen Körpers im ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raum ist der Faktor 4 durch ${\displaystyle {\frac {nv_{n}}{v_{n-1}}}}$ zu ersetzen, wenn ${\displaystyle v_{n}}$ das Volumen der ${\displaystyle n}$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

Siehe auch

• Dispersitätsanalyse