Satz von Hardy und Ramanujan

Der Satz von Hardy und Ramanujan aus der Zahlentheorie besagt, dass die Anzahl verschiedener Primfaktoren ${\displaystyle \omega (n)}$ einer ganzen Zahl ${\displaystyle n}$ die normale Größenordnung ${\displaystyle \log(\log(n))}$ hat. Der Satz wurde 1917 von Godfrey Harold Hardy und S. Ramanujan bewiesen.^[1]

Eine arithmetische Funktion ${\displaystyle f(n)}$ hat die normale Größenordnung ${\displaystyle g(n)}$, wenn für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ gilt

${\displaystyle (1-\varepsilon )g(n)\leq f(n)\leq (1+\varepsilon )g(n)}$

für fast alle n, das heißt, der Anteil der ${\displaystyle n<x}$, für die die Ungleichung nicht gilt, geht für ${\displaystyle x\to \infty }$ gegen null.^[2]

Genauer gilt:^[2]

Die Anzahl der ${\displaystyle n\leq x}$, für die

${\displaystyle |\omega (n)-\log(\log(n))|>{(\log(\log(n)))}^{{\frac {1}{2}}+\delta }}$

gilt, ist für jedes ${\displaystyle \delta >0}$ von der Ordnung ${\displaystyle o(x)}$ (mit den Landau-Symbolen, das heißt der Anteil der ${\displaystyle n\leq x}$, für die die Ungleichung gilt, verschwindet asymptotisch für ${\displaystyle x\to \infty }$).

Der Beweis findet sich im Zahlentheorie-Lehrbuch von Hardy und Wright.^[3] Einen vereinfachten Beweis gab Pál Turán 1934.^[4] Turán erweiterte den Satz auf weitere stark additive, arithmetische Funktionen.

Hubert Delange bewies 1953,^[5] dass ${\displaystyle \omega (n)}$ im Wesentlichen eine gaußsche Normalverteilung besitzt, was auch Gegenstand des Satzes von Erdős-Kac ist.^[6]

Der Satz gilt auch für die Funktion ${\displaystyle \Omega (n)}$, bei der die Primfaktoren mit ihrer Multiplizität summiert werden, d. h. ${\displaystyle \Omega (n)}$ ist die Anzahl der Faktoren der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle n}$.