Satz von Thurston-Bonahon

Der Satz von Thurston-Bonahon ist ein häufig verwendeter Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der 3-dimensionalen Topologie, benannt nach William Thurston und Francis Bonahon. Er präzisiert die Dichotomie zwischen geometrisch endlichen und geometrisch unendlichen Flächen in hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten.

Formulierung des Satzes

Es sei ${\displaystyle M}$ eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit von endlichem Volumen, und sei ${\displaystyle F\subset M}$ eine inkompressible, ${\displaystyle \partial }$-inkompressible Fläche.

Dann ist ${\displaystyle F}$ entweder eine virtuelle Faser oder quasifuchssch.

Erläuterungen:

• ${\displaystyle F\subset M}$ heißt geometrisch endlich, wenn das Bild von ${\displaystyle \pi _{1}F}$ unter ${\displaystyle \pi _{1}M\to Isom(H^{3})}$ eine geometrisch endliche Gruppe ist; dies ist im Fall von Flächengruppen äquivalent dazu, dass ${\displaystyle \pi _{1}F}$ eine quasifuchssche Gruppe ist.
• ${\displaystyle F\subset M}$ heißt virtuelle Faser, wenn es eine endliche Überlagerung ${\displaystyle p\colon {\widehat {M}}\to M}$ sowie ein Faserbündel ${\displaystyle {\widehat {M}}\to S^{1}}$ mit Faser ${\displaystyle p^{-1}(F)}$ gibt. Der Satz von Thurston-Bonahon besagt insbesondere, dass jede geometrisch unendliche Fläche in einer hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens eine virtuelle Faser sein muss.

Geschichte

Der Satz von Thurston-Bonahon ergibt sich aus einer Kombination von Sätzen in Thurstons „Lecture Notes“^[1] und Bonahons Habilitationsschrift^[2] mit älteren Ergebnissen von Albert Marden.^[3] Er wird weder bei Thurston noch bei Bonahon explizit erwähnt.

Der Satz wird in zahlreichen mathematischen Arbeiten zur Topologie von Flächen in 3-Mannigfaltigkeiten verwendet, explizite Formulierungen des Satzes finden sich zuerst bei Cooper-Long-Reid^[4] und in allgemeinerer Form bei Canary.^[5]