Semiprimideal

Ein Semiprimideal ist ein Begriff aus der abstrakten Algebra. Er stellt eine Erweiterung des Begriffs des Primideals dar.

Definition

Im Folgenden sei R ein Ring mit Eins. Dann ist ein Ideal Q von R ein Semiprimideal, wenn es eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:^[1]

• Ist ${\displaystyle I\triangleleft R}$ ein Ideal von R mit ${\displaystyle I^{2}\subseteq Q}$, dann ist ${\displaystyle I\subseteq Q}$.
• Q ist ein Durchschnitt von Primidealen.

Eigenschaften

• Ein Ring R heißt semiprim, wenn ${\displaystyle \{0\}}$ ein Semiprimideal ist. Dann ist die Abbildung ${\displaystyle R\rightarrow \prod _{P}R/P,\,x\mapsto (x+P)_{P}}$, wobei das Produkt über alle Primideale gebildet wird, injektiv. Daher ist ein semiprimer Ring subdirektes Produkt primer Ringe, das heißt solcher, in denen das Nullideal prim ist.^[2]
• Ein Durchschnitt von Semiprimidealen ist wieder ein Semiprimideal.
• Das Primradikal ist das kleinste Semiprimideal.