Top-Fragen
Zeitleiste
Chat
Kontext
Sherman-Morrison-Woodbury-Formel
Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Remove ads
Die Sherman-Morrison-Woodbury-Formel (nach Jack Sherman, Winifred J. Morrison und Max A. Woodbury)[1][2][3][4][5] der linearen Algebra gibt eine explizite Darstellung der Inversen einer regulären Matrix nach einer Änderung von niederem Rang. Dies ist beispielsweise bei Quasi-Newton-Verfahren und beim Basiswechsel im Simplex-Verfahren interessant.
In numerischen Verfahren kann die Verwendung der Formel zu Stabilitätsproblemen führen, weswegen Alternativen zu bevorzugen sind.
Remove ads
Änderung vom Rang 1
Mit zwei Vektoren ist das Produkt eine -Matrix und besitzt den Rang 1.
- Für gilt
wobei mit die Einheitsmatrix gemeint ist. Die Aussage prüft man elementar nach.
Die Formel überträgt sich direkt auf Rang-1-Änderungen einer beliebigen, regulären -Matrix :
- Für gilt
Dabei ergibt sich, dass die Matrix genau dann invertierbar ist, wenn der Nenner in obiger Formel nicht verschwindet.
Remove ads
Änderung vom Rang k
Für zwei -Matrizen verallgemeinert sich die Formel nach der Woodbury-Matrix-Identität in folgender Weise:
- Die -Matrix sei regulär, dann gilt
Remove ads
Literatur
- Gene H. Golub, Charles F. van Loan: Matrix Computations, Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, 1996.
Einzelnachweise
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads