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Sherman-Morrison-Woodbury-Formel

Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

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Die Sherman-Morrison-Woodbury-Formel (nach Jack Sherman, Winifred J. Morrison und Max A. Woodbury)[1][2][3][4][5] der linearen Algebra gibt eine explizite Darstellung der Inversen einer regulären Matrix nach einer Änderung von niederem Rang. Dies ist beispielsweise bei Quasi-Newton-Verfahren und beim Basiswechsel im Simplex-Verfahren interessant.

In numerischen Verfahren kann die Verwendung der Formel zu Stabilitätsproblemen führen, weswegen Alternativen zu bevorzugen sind.

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Änderung vom Rang 1

Mit zwei Vektoren ist das Produkt eine -Matrix und besitzt den Rang 1.

Für gilt

wobei mit die Einheitsmatrix gemeint ist. Die Aussage prüft man elementar nach.

Die Formel überträgt sich direkt auf Rang-1-Änderungen einer beliebigen, regulären -Matrix :

Für gilt

Dabei ergibt sich, dass die Matrix genau dann invertierbar ist, wenn der Nenner in obiger Formel nicht verschwindet.

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Änderung vom Rang k

Für zwei -Matrizen verallgemeinert sich die Formel nach der Woodbury-Matrix-Identität in folgender Weise:

Die -Matrix sei regulär, dann gilt
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Literatur

  • Gene H. Golub, Charles F. van Loan: Matrix Computations, Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, 1996.

Einzelnachweise

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