Spiegelungsmatrix

Als Spiegelungsmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt. Das einfachste Beispiel ist die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden ${\displaystyle g}$ in der Ebene mit dem Neigungswinkel ${\displaystyle \alpha }$. Die Spiegelungsabbildung ergibt sich als Matrix-Vektor-Produkt der Matrix mit dem entsprechenden Vektor.

Spiegelung an einer ebenen Ursprungsgeraden

Die Matrix einer Spiegelung ${\displaystyle S_{g}}$ an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel ${\displaystyle \alpha }$ zur positiven x-Achse ist:

${\displaystyle S_{g}={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}}$.

Zum Beispiel ist die Matrix einer Spiegelung S an der x-Achse:

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$.

Spiegelung an einer beliebigen ebenen Geraden

Damit lässt sich auch eine Darstellung der Spiegelung eines Vektors ${\displaystyle {\vec {v}}}$ an einer beliebigen Geraden ${\displaystyle g={\vec {a}}+r\cdot {\vec {u}}}$ mit Neigungswinkel ${\displaystyle \alpha }$ darstellen. Hierzu sind zwei Schritte durchzuführen:

1. Es wird auf eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden ${\displaystyle g^{*}=r\cdot {\vec {u}}}$ zurückgeführt. Dies wird durch Verschiebung von ${\displaystyle g}$ um ${\displaystyle -{\vec {a}}}$ erreicht: ${\displaystyle {\vec {v}}'={\vec {v}}-{\vec {a}}}$. Der Vektor ${\displaystyle {\vec {v}}'}$ wird nun an ${\displaystyle g^{*}}$ gespiegelt:

   ${\displaystyle {\vec {q}}'=S_{g}({\vec {v}}')=S_{g}({\vec {v}}-{\vec {a}})={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}\cdot ({\vec {v}}-{\vec {a}})}$

2. Verschiebung von ${\displaystyle {\vec {q}}'}$ um den Stützvektor ${\displaystyle {\vec {a}}}$ der Ausgangsgeraden ${\displaystyle g}$

   ${\displaystyle {\vec {q}}={\vec {q}}'+{\vec {a}}={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}\cdot ({\vec {v}}-{\vec {a}})+{\vec {a}}}$

Allgemeinere Spiegelungen

Spiegelungsmatrizen sind orthogonale Matrizen und haben die Determinante −1.

Die Darstellungen von Spiegelungen an Hyperebenen werden in der numerischen Mathematik als Householder-Matrizen bezeichnet.

Literatur

• Wolfgang Mackens, Heinrich Voß: Mathematik. Für Studierende der Ingenieurwissenschaften. Band 1. HECO-Verlag, Aachen 1993, ISBN 3-930121-00-X.