Summierbare Familie

Eine summierbare Familie ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Er dient der Verallgemeinerung des Reihenbegriffs für beliebige Familien in einem Vektorraum.

Formale Definition

Sei ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ein normierter Vektorraum. Sei ${\displaystyle I}$ eine Indexmenge und ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ eine Familie. Sei ${\displaystyle {\hat {x}}\in X}$.

Die Familie ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ heißt summierbar zu ${\displaystyle {\hat {x}}}$ genau dann, wenn

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists E_{0}\subseteq _{\text{endlich}}I\;\forall E_{0}\subseteq E\subseteq _{\text{endlich}}I:\left\|{\hat {x}}-\sum _{i\in E}x_{i}\right\|<\varepsilon }$

gilt. Wenn sich also zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ eine endliche Teilmenge ${\displaystyle E_{0}\subseteq I}$ finden lässt so, dass für alle endlichen Obermengen ${\displaystyle E\supseteq E_{0}}$, die in ${\displaystyle I}$ liegen, die Summe ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in E}x_{i}}$ in der Norm von ${\displaystyle {\hat {x}}}$ weniger als ${\displaystyle \varepsilon }$ abweicht.

Ähnlich wie bei Reihen lässt sich auch absolute Summierbarkeit definieren. Die Familie ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ heißt absolut summierbar zu ${\displaystyle {\hat {x}}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle (\|x_{i}\|)_{i\in I}}$ summierbar zu einem ${\displaystyle s\in [0,\infty [}$ ist.^[1]

Letztlich heißt eine Familie Cauchy-summierbar genau dann, wenn

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists E_{0}\subseteq _{\text{endlich}}I\;\forall E\subseteq _{\text{endlich}}I\setminus E_{0}:\left\|\sum _{i\in E}x_{i}\right\|<\varepsilon }$

gilt.^[1]

Bemerkungen

• Absolute Summierbarkeit impliziert Summierbarkeit. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
• Ist eine Familie summierbar, ist auch jede Teilfamilie summierbar. Summierbarkeit ist also ein stärkeres Kriterium als einfache Konvergenz von Reihen.
• Aus Summierbarkeit folgt Cauchy-Summierbarkeit. In Banachräumen gilt die Umkehrung. Cauchy-Summierbarkeit ist häufig einfacher zu prüfen.
• Sei ${\displaystyle x}$ summierbar zu ${\displaystyle {\hat {x}}}$ und ${\displaystyle y}$ summierbar zu ${\displaystyle {\hat {y}}}$ und ${\displaystyle \lambda }$ ein Skalar. Dann gilt ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}(x+\lambda y)={\hat {x}}+\lambda {\hat {y}}}$.
• Der Träger einer summierbaren Familie ist höchstens abzählbar.