Tanc-Funktion

Die tanc-Funktion oder auch Kardinaltangens (Tangens cardinalis) ist eine mathematische Funktion, die durch

${\displaystyle \operatorname {tanc} (x):={\dfrac {\tan(x)}{x}}}$

Die tanc-Funktion im Bereich von −11 bis 11

definiert ist. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \tan(x)}$ den gewöhnlichen Tangens.^[1]

Analog zur gebräuchlicheren sinc-Funktion wird die Funktion an der hebbaren Definitionslücke bei ${\displaystyle x=0}$ durch ihren Grenzwert ${\displaystyle \operatorname {tanc} (0)=1}$ fortgesetzt. Trotz ihrer strukturellen Ähnlichkeit zählt sie nicht zu den Kardinalfunktionen.^[2]

Eigenschaften

Allgemeines

An der hebbaren Singularität bei ${\displaystyle x=0}$ werden die Funktionen durch den Grenzwert ${\displaystyle \operatorname {tanc} (0)=1}$ bzw. ${\displaystyle \operatorname {tanc} (0)=1}$ stetig fortgesetzt, der sich aus der Regel von de L’Hospital ergibt; manchmal wird die Definitionsgleichung auch mit Fallunterscheidung geschrieben:

${\displaystyle \operatorname {tanc} (x)={\begin{cases}{\frac {\tan x}{x}}&x\neq 0\vee x\neq \pi n\\1&x=0\end{cases}}}$.

Nullstellen

Die tanc-Funktion hat ihre Nullstellen bei ganzzahligen Vielfachen von ${\displaystyle \pi }$:

${\displaystyle \operatorname {tanc} (x)={\frac {\tan(x)}{x}}=0}$ gilt für ${\displaystyle \ x\in \{n\pi \ \mid \ n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}\}}$

Asymptotisches Grenzverhalten

Für ${\displaystyle x}$-Koordinaten der Form ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}+\pi n}$ mit ganzzahligem ${\displaystyle n}$ hat die ${\displaystyle \operatorname {tanc} (x_{n})}$-Funktion ein asymptotisches Grenzverhalten, da ${\displaystyle \tan(x_{n})}$ divergiert.

Ableitungen

Die erste Ableitung von ${\displaystyle \operatorname {tanc} (x)}$ ist gegeben durch:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\;\operatorname {tanc} (x)={\frac {\sec ^{2}(x)}{x}}-{\frac {\tan(x)}{x^{2}}}}$

Integrale

Das Integral vom Kehrwert der tanc-Funktion hat bis zur ersten Nullstelle folgenden Wert:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\operatorname {tanc} (x)}}={\frac {\pi }{2}}\ln(2)}$

Dies wird im Folgenden bewiesen:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\operatorname {tanc} (x)}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsin} (x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{-x^{2}y^{2}+1}}\,{\frac {y}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=}$${\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{-x^{2}y^{2}+1}}\,{\frac {y}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\pi }{2}}\,{\frac {y}{{\sqrt {1-y^{2}}}(1+{\sqrt {1-y^{2}}})}}\,\mathrm {d} y={\frac {\pi }{2}}\ln(2)}$

Abgrenzung

Die ${\displaystyle \operatorname {tanc} (x)}$ hat strukturell große Ähnlichkeit zu der ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$-Funktion, ist allerdings keine Kardinalfunktion, hat aber Definitionslücken bei ${\displaystyle (n+{\frac {1}{2}})\pi }$. Daher ist bspw. in der Physik die Verwendung von ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$ gebräuchlicher.

Weblinks

• Information zur Tanc-Funktion bei Wolfram Research