Teilersumme

Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller positiven Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.^[1]

Beispiel:

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme von 6 lautet also ${\displaystyle 1+2+3+6=12}$.

Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.

Definitionen

Definition 1: Summe aller Teiler

Sind ${\displaystyle t_{1},t_{2},...,t_{k}}$ alle Teiler der natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$, so nennt man ${\displaystyle \sigma (n)=t_{1}+t_{2}+\dotsb +t_{k}}$ die Teilersumme von ${\displaystyle n}$. Dabei sind 1 und ${\displaystyle n}$ selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion ${\displaystyle n\mapsto \sigma (n)}$ heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.

Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:

${\displaystyle \sigma (6)=1+2+3+6=12}$.

Definition 2: Summe der echten Teiler

Die Summe ${\displaystyle \sigma ^{*}(n)}$ der echten Teiler der natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ ist die Summe der Teiler von ${\displaystyle n}$ ohne die Zahl ${\displaystyle n}$ selbst.

Beispiel:

${\displaystyle \sigma ^{*}(6)=1+2+3=6}$.

Es gilt die Beziehung

${\displaystyle \sigma (n)-n=\sigma ^{*}(n)}$.

Definition 3: defizient, abundant, vollkommen

Eine natürliche Zahl ${\displaystyle n>1}$ heißt

defizient oder teilerarm, wenn ${\displaystyle \sigma ^{*}(n)<n}$,

abundant oder teilerreich, wenn ${\displaystyle \sigma ^{*}(n)>n}$,

vollkommen, wenn ${\displaystyle \sigma ^{*}(n)=n}$.^[2]

Beispiele:

${\displaystyle \sigma ^{*}(6)=1+2+3=6}$, d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.

${\displaystyle \sigma ^{*}(12)=1+2+3+4+6=16>12}$, d. h. 12 ist abundant.

${\displaystyle \sigma ^{*}(10)=1+2+5=8<10}$, d. h. 10 ist defizient.

Eigenschaften der Teilersumme

Satz 1: Teilersumme einer Primzahl

Für jede Primzahl ${\displaystyle p}$ gilt

${\displaystyle \sigma (p)=p+1}$.

Beweis: Per Definition hat ${\displaystyle p}$ nur die Teiler ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle p}$. Daraus folgt die Behauptung.

Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl

Sei ${\displaystyle p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$. Dann gilt für die Potenz ${\displaystyle p^{k}}$:

${\displaystyle \sigma (p^{k})={\frac {p^{k+1}-1}{p-1}}}$.

Beweis: Da ${\displaystyle p}$ eine Primzahl ist, hat ${\displaystyle p^{k}}$ nur die Teiler ${\displaystyle p^{0},p^{1},\ldots ,p^{k}}$. Diese Zahlen bilden eine geometrische Folge. Aus der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe folgt sofort die Behauptung.

Beispiel:

${\displaystyle \sigma (2^{3})={{2^{4}-1} \over {2-1}}={{16-1} \over 1}=15}$

${\displaystyle \sigma (8)=1+2+4+8=15}$

Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen

Seien ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ verschiedene Primzahlen. Dann gilt

${\displaystyle \sigma (a\cdot b)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)}$.

Beweis: Die Zahl ${\displaystyle ab}$ besitzt genau die Teiler ${\displaystyle 1,a,b}$ und ${\displaystyle ab}$. Daraus folgt

${\displaystyle \sigma (a\cdot b)=1+a+b+ab=(a+1)(b+1)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)}$.

Beispiel:

${\displaystyle \sigma (3\cdot 5)=\sigma (15)=1+3+5+15=24}$

${\displaystyle \sigma (3)\cdot \sigma (5)=(1+3)\cdot (1+5)=4\cdot 6=24}$

Satz 4: Teilersumme des Produkts von zwei teilerfremden Zahlen

Sind ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ teilerfremde Zahlen, so gilt

${\displaystyle \sigma (a\cdot b)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)}$.^[3]

Die Teilersummenfunktion ist also multiplikativ.

Beispiel:

${\displaystyle \sigma (4\cdot 9)=\sigma (36)=1+2+3+4+6+9+12+18+36=91}$

${\displaystyle \sigma (4)\cdot \sigma (9)=(1+2+4)\cdot (1+3+9)=7\cdot 13=91}$

Satz 5: Teilersumme einer in Primfaktoren zerlegten Zahl

Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit der Primfaktorzerlegung ${\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{k_{r}}}$. Dann gilt

${\displaystyle \sigma (n)={\frac {p_{1}^{k_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\cdot \ldots \cdot {\frac {p_{r}^{k_{r}+1}-1}{p_{r}-1}}}$.^[4]

Beispiel:

${\displaystyle \sigma (84)=\sigma (2^{2}\cdot 3\cdot 7)={\frac {2^{3}-1}{2-1}}\cdot {\frac {3^{2}-1}{3-1}}\cdot {\frac {7^{2}-1}{7-1}}=7\cdot 4\cdot 8=224.}$

Satz von Thabit

Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit (benannt nach Thabit ibn Qurra) aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:

Für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ seien ${\displaystyle x=3\cdot 2^{n}-1,y=3\cdot 2^{n-1}-1}$ und ${\displaystyle z=9\cdot 2^{2n-1}-1}$.

Wenn ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle z}$ Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen ${\displaystyle a=2^{n}xy}$ und ${\displaystyle b=2^{n}z}$ befreundet, d. h. ${\displaystyle \sigma ^{*}(a)=b}$ und ${\displaystyle \sigma ^{*}(b)=a}$.

Beweis

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{*}(a)&=\sigma (a)-a\\&=\sigma (2^{n}\cdot x\cdot y)-a\\&=(2^{n+1}-1)(x+1)(y+1)-a\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &&{\text{(Satz 4)}}\\&=(2^{n+1}-1)(3\cdot 2^{n})(3\cdot 2^{n-1})-2^{n}(3\cdot 2^{n}-1)(3\cdot 2^{n-1}-1)\\&=(2^{n+1}-1)\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-6\cdot 2^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+1)\\&=2\cdot 2^{n}\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n}\cdot 2^{n-1}-2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}+1)\\&=2^{n}(18\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}-9\cdot 2^{2n-1}+9\cdot 2^{n-1}-1)\\&=2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1)\\&=2^{n}\cdot z\\&=b\end{aligned}}}$

Analog zeigt man ${\displaystyle \sigma ^{*}(b)=a}$.

Teilersumme als endliche Reihe

Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von ${\displaystyle n}$ explizit Bezug genommen wird:

${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{\mu =1}^{n}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}}}$

Beweis: Die Funktion

${\displaystyle T(n,\mu )={\frac {1}{\mu }}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos 2\pi {\frac {\nu n}{\mu }},\quad n=1,2,\dots ,\quad \mu =1,2,\dots }$

wird 1, wenn ${\displaystyle \mu }$ ein Teiler von ${\displaystyle n}$ ist, ansonsten bleibt sie Null.

Sei nämlich ${\displaystyle \mu }$ ein Teiler von ${\displaystyle n}$. Dann ist der Quotient ${\displaystyle {\frac {\nu n}{\mu }}}$ ganzzahlig, somit ist ${\displaystyle \cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}}}$ gleich 1. Die Summation über ${\displaystyle \nu }$ ergibt ${\displaystyle \mu }$, woraus ${\displaystyle T(n,\mu )=1}$ folgt.

Sei nun ${\displaystyle \mu }$ kein Teiler von ${\displaystyle n}$. Es gilt dann

${\displaystyle T(n,\mu )={\frac {1}{\mu }}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos 2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}={\frac {1}{\mu }}{\frac {\sin \pi n\cos {\frac {\pi (\mu +1)n}{\mu }}}{\sin {\frac {\pi n}{\mu }}}}=0.}$

Damit ist gezeigt, dass ${\displaystyle T(n,\mu )}$ genau dann gleich 1 ist, wenn ${\displaystyle \mu }$ ein Teiler von ${\displaystyle n}$ ist, und ansonsten verschwindet.

Multipliziert man jetzt ${\displaystyle T(n,\mu )}$ mit ${\displaystyle \mu ^{k}}$ und summiert das Produkt über alle Werte ${\displaystyle \mu =1}$ bis ${\displaystyle \mu =n}$, so entsteht nur dann ein Beitrag ${\displaystyle \mu ^{k}}$ zur Summe, wenn ${\displaystyle \mu }$ ein Teiler von ${\displaystyle n}$ ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{\mu =1}^{n}\mu ^{k-1}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}},\quad k=0,\pm 1,\dots }$

deren Spezialfall ${\displaystyle k=1}$ die einfache Teilersumme ${\displaystyle \sigma (n)}$ ist.

Siehe auch

• Inhaltskette
• Teilermenge

Literatur

• Paul Erdős, János Surányi: Topics in the Theory of Numbers. (= Undergraduate Texts in Mathematics). 2. Auflage. Springer Verlag, New York, NY (u. a.) 2003, ISBN 0-387-95320-5 (Aus dem Ungarischen übersetzt von Barry Guiduli).
• József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Springer Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 1-4020-4215-9.
• József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. II. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London 2004, ISBN 1-4020-2546-7.
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland, Amsterdam / New York 1988, ISBN 0-444-86662-0.
• Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. Beispiele, Geschichte, Algorithmen. 2. Auflage. Springer, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-07170-7.