Zweier-Potenzen
- Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8).
- Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Summe aus der letzten Ziffer und dem Doppelten der vorletzten Ziffer durch 4 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Summe aus der letzten Ziffer, dem Doppelten der vorletzten Ziffer und dem Vierfachen der vorvorletzten Ziffer durch 8 teilbar ist.
- Allgemein ist eine Zahl genau dann durch
teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten
Ziffern gebildet wird, durch
teilbar ist.
Fünfer-Potenzen
- Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5).
- Eine Zahl ist genau dann durch 25 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 25 teilbar ist (00, 25, 50 oder 75).
- Eine Zahl ist genau dann durch 125 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 125 teilbar ist (000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875).
- Allgemein ist eine Zahl genau dann durch
teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten
Ziffern gebildet wird, durch
teilbar ist.
Zehner-Potenzen
- Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 100 teilbar, wenn die Zahl mit 00 endet.
- Eine Zahl ist genau dann durch 1000 teilbar, wenn die Zahl mit 000 endet.
- Allgemein ist eine Zahl genau dann durch
teilbar, wenn ihre letzten
Ziffern jeweils 0 sind.
Produkte aus Zweier- und Fünfer-Potenzen
- Eine Zahl ist genau dann durch 20 teilbar, wenn ihre vorletzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8) und ihre letzte Ziffer 0 ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 40 teilbar, wenn die Zahl, die aus der drittletzten und vorletzten Ziffer gebildet wird, durch 4 teilbar ist und die letzte Ziffer eine 0 ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 50 teilbar, wenn die Zahl auf 00 oder 50 endet.
- Allgemein ist eine Zahl genau dann durch
teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten
Ziffern gebildet wird, durch
teilbar ist.
Teilbarkeitsregeln basierend auf Quersummen
Will man für eine Zahl
eine Teilbarkeitsregel mit Quersummen aufstellen, so sucht man nach einem Vielfachen, das entweder
oder
für ein beliebiges
ist. Im ersten Fall kann die Teilbarkeit mit der nichtalternierenden
-Quersumme, im zweiten Fall mit der alternierenden
-Quersumme überprüft werden.
Entsprechende Faktoren existieren für alle Zahlen, die mit 10 teilerfremd sind. Allerdings ist die Prüfung zum Teil schon für relativ kleine Zahlen unpraktisch (siehe zum Beispiel die unten angegebenen Regeln für Teilbarkeit durch 17 und 19).
Für die Teilbarkeit von Zahlen unter 10 kann man noch ausnutzen, dass eine Ziffer, die größer gleich der Zahl ist, um diese verringert werden kann. So ist bei der Teilbarkeit durch 7 und dem Beispiel 3815 die Ziffer 8 größer gleich 7, also kann man auch direkt 3115 prüfen. Der Grund ist hier, dass 700 natürlich auch durch 7 teilbar ist (allgemein
).
Teilbarkeitsregeln basierend auf nichtalternierenden Quersummen
Ist
ein Vielfaches der betrachteten Zahl
, dann gilt die Teilbarkeitsregel: „Eine Zahl ist genau dann durch
teilbar, wenn ihre nichtalternierende
-Quersumme durch
teilbar ist.“
Beispielsweise ist
ein Vielfaches von 3, so dass die Teilbarkeit durch 3 anhand der (1er-)Quersumme geprüft werden kann.
- Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 11 teilbar ist. Es gibt auch eine Teilbarkeitsregel mit der alternierenden Quersumme (siehe unten).
- Eine Zahl ist genau dann durch 21 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 6er-Quersumme durch 21 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 27 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 27 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 33 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 33 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 37 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 37 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 41 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 5er-Quersumme durch 41 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 99 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 99 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 111 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 111 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 333 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 333 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 999 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 999 teilbar ist.
- Allgemein ist eine Zahl genau dann durch
teilbar, wenn ihre nichtalternierende
-Quersumme durch
teilbar ist.
- Allgemein ist eine Zahl genau dann durch
(Repunitzahl) teilbar, wenn ihre nichtalternierende
-Quersumme durch
teilbar ist.
Die Quersumme muss nicht vollständig berechnet werden, sondern es genügt, den Rest einer Ziffer (oder Zifferngruppe) bei Division durch
zu berücksichtigen. Es kann auch nach jeder Addition der Rest bei Division durch
berechnet werden. Um z. B. zu ermitteln, ob 7654 durch 3 teilbar ist, kann man rechnen:
- Ziffer 7: Rest bei Division durch 3 ist 1: Summe 1 (Quersumme
)
- Ziffer 6: Rest bei Division durch 3 ist 0: Summe 1 ändert sich nicht (Quersumme
)
- Ziffer 5: diesmal ohne Bestimmung des Rests: Summe 1+5=6, Rest bei Division durch 3 ist 0 (Quersumme
)
- Ziffer 4: Summe 0+4=4, Rest bei Division durch 3 ist 1 (Quersumme
)
Da der im letzten Schritt berechnete Rest nicht Null ist, ist 7654 nicht durch 3 teilbar.
Herleitung: ist
die Dezimaldarstellung der Zahl
, dann gilt

Dabei bezeichnet
die
-Quersumme von
. Diese Quersumme ist also genau dann durch
teilbar, wenn
durch
teilbar ist. Also ist diese Quersumme genau dann durch
teilbar, wenn
durch
teilbar ist.
Teilbarkeitsregeln basierend auf alternierenden Quersummen
Ist hingegen
ein Vielfaches der betrachteten Zahl
, dann gilt die Teilbarkeitsregel: „Eine Zahl ist genau dann durch
teilbar, wenn ihre alternierende
-Quersumme durch
teilbar ist.“
Betrachtet man beispielsweise die Zahl 7, so kann man durch Ausprobieren sehen, dass
. Daraus ergibt sich dann die Teilbarkeitsregel mit einer alternierenden 3er-Quersumme.
- Eine Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. Es gibt auch eine Teilbarkeitsregel mit der nichtalternierenden 2er-Quersumme (siehe oben).
- Eine Zahl ist genau dann durch 13 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 13 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 17 teilbar, wenn ihre alternierende 8er-Quersumme durch 17 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 19 teilbar, wenn ihre alternierende 9er-Quersumme durch 19 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 23 teilbar, wenn ihre alternierende 11er-Quersumme durch 23 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 73 teilbar, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 73 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 77 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 77 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 91 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 91 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 101 teilbar, wenn ihre alternierende 2er-Quersumme durch 101 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 137 teilbar, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 137 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 143 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 143 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 1001 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 1001 teilbar ist.
- Allgemein ist eine Zahl genau dann durch
teilbar, wenn ihre alternierende
-Quersumme durch
teilbar ist.
Herleitung: ist
die Dezimaldarstellung der Zahl
, dann gilt

Dabei bezeichnet
die alternierende
-Quersumme von
. Diese alternierende Quersumme ist also genau dann durch
teilbar, wenn
durch
teilbar ist. Also ist diese alternierende Quersumme genau dann durch
teilbar, wenn
durch
teilbar ist.
Teilbarkeit durch 7
Neben der schon genannten Teilbarkeitsregel mittels der alternierenden 3er-Quersumme gibt es für die 7 weitere, teils einfachere, Teilbarkeitsregeln. Diese ergeben sich aus der Betrachtung von Vielfachen der Zahl, die nah an 10er-Potenzen liegen, also beispielsweise im nächsten Beispiel
. Man zieht wiederholt 98 ab, wodurch sich die Hunderter um 1 verringern, die Einer aber um zwei erhöhten (
). Im Babylonischen Talmud findet sich die Teilbarkeitsregel, bei der man letztlich nur überprüfen muss, ob eine zweistellige Zahl durch 7 teilbar ist, in folgender Form:[2][3] Eine Zahl wird an der vorletzten Stelle in zwei Teile aufgespalten. Die Ziffern vor der vorletzten Stelle bilden die Zahl
und die letzten beiden Ziffern die Zahl
. 3815 wird beispielsweise in die Zahlen
und
zerlegt. Nun zählt man
und das Doppelte von
zusammen. Ist die Summe durch 7 teilbar, so ist auch die ursprüngliche Zahl durch 7 teilbar. Für 3815 erhält man so
. Da 91 durch 7 teilbar ist, ist auch 3815 durch 7 teilbar. Bei sehr großen Zahlen kann man dieses Verfahren solange wiederholen, bis man irgendwann eine zweistellige Zahl erhält. Um die Gültigkeit der Teilbarkeitsregel zu zeigen, betrachtet man die Gleichung

Da 98 und damit auch
durch 7 teilbar ist, ist
genau dann durch 7 teilbar, wenn
durch 7 teilbar ist.
Für eine weitere Teilbarkeitsregel spaltet man eine Zahl in ihre letzte Ziffer
und den Rest
auf. Zum Beispiel 3815 in die Zahlen
und
. Dann gilt folgender Satz:
- Eine Zahl
ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihr Doppeltes
durch 7 teilbar ist, weswegen man lediglich die Teilbarkeit von
prüfen muss.
Für 3815 muss man also überprüfen, ob
durch 7 teilbar ist. Dazu kann man 371 wieder in 37 und 1 zerlegen. Da
durch 7 teilbar ist, sind auch 371 und 3815 durch 7 teilbar.[4] Die Begründung dieser Methode ist, dass 21 durch 7 teilbar ist und um die Einer am Ende der Zahl auf 0 zu bringen, für jeden Einer zwei Zehner abgezogen werden müssen. Danach teilt man die entstehende Zahl dann noch durch Zehn. Ist die Zahl durch 21 teilbar, so ist der Rest bei dieser Methode also 0.
Man kann eine Zahl
auch vor der drittletzten Ziffer spalten, so dass die letzten drei Ziffern die Zahl
und die Ziffern davor die Zahl
bilden. Dann zieht man
von
ab und prüft, ob diese Differenz durch 7 teilbar ist. Da

und
durch 7 teilbar ist, ist
genau dann durch 7 teilbar, wenn
durch 7 teilbar ist.
Man kann auch die jeweiligen Reste für die einzelnen 10er-Potenzen bestimmen und erhält so folgende Teilbarkeitsregel: Man beginne mit der ersten Ziffer der Zahl von rechts und multipliziere sie mit 1, die zweite Ziffer mit 3, die dritte mit 2, die vierte mit -1, die fünfte mit -3, die sechste mit -2 und dann die nächsten wieder von vorne mit 1, 3, 2, -1, -3, -2 und so weiter. Man berechne dann die Summe dieser Zahlen. Ist sie durch 7 teilbar, so ist es auch die Zahl. Das liegt daran, dass bei 7 noch drei zur 10 fehlen, bei 98 zwei zur 100, bei 1001 jedoch 1 zu viel ist, bei 10003 3 zu viel, bei 100002 2 zu viel und so weiter. Die Wiederholung ergibt sich aus der Überlegung, dass
und somit für 100 gilt
und somit
. Das wird für die weiteren Potenzen fortgeführt (Multiplikation des Restes mit 3), wodurch sich das Muster ergibt. Für 3815 wird also beispielsweise gerechnet:
. Die Zahl ist also durch 7 teilbar, da auch 21 durch 7 teilbar ist.
Teilbarkeit durch 37
Bei 37 kann man interessanterweise wieder eine vergleichsweise einfache Regel anwenden: Man beginnt rechts und nimmt die ersten beiden Ziffern als Zahl und zieht 11 mal die nächste Ziffer von rechts ab. Das wiederholt man mit den weiteren Ziffern, also wieder die nächsten zwei als Zahl abtrennen und die dritte 11 mal abziehen. Ist die Summe der Ergebnisse durch 37 teilbar, so ist es auch die Zahl. Beispiel 19758:
. Die Zahl ist also durch 37 teilbar.
Teilbarkeitsregeln für beliebige Primzahlen
Für eine beliebige Primzahl
bestimmt man die Reste
für die Zehnerpotenzen
. Es gilt also

Daraus ergibt sich folgende Teilbarkeitsregel: Die Dezimaldarstellung einer Zahl
sei
. Man beginnt mit der ersten Ziffer
der Zahl von rechts und multipliziert sie mit
, die zweite Ziffer
mit
, die dritte Ziffer
mit
, ..., die
-te Ziffer
mit
und dann die nächsten Ziffern wieder von vorne mit
und so weiter. Man berechnet dann die Summe
dieser Zahlen. Wenn diese Summe durch
teilbar ist, dann ist auch die Zahl
durch
teilbar.
Herleitung: Es gilt