Telegraphengleichung

Dieser Artikel befasst sich mit der Telegraphengleichung der Elektrodynamik. Die (speziellere) Telegraphengleichung für die Ausbreitung von Strom und Spannung auf einer Leitung wird unter Leitungsgleichung behandelt.

Die Telegraphengleichung ist eine allgemeine Form der Wellengleichung. Sie ist eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.

Allgemeines

Die Telegraphengleichung ist eine partielle Differentialgleichung (bei ${\displaystyle a>0}$ hyperbolisch, bei ${\displaystyle a<0}$ elliptisch und bei ${\displaystyle a=0}$ parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form:

${\displaystyle \Delta {\vec {F}}=a\cdot {\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}}{\partial t^{2}}}+b\cdot {\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial t}}+c\cdot {\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial x}}+d\cdot {\vec {F}}}$.

Dabei ist ${\displaystyle \Delta {\vec {F}}}$ der Laplace-Operator, in einer Orts-Dimension also ${\displaystyle \Delta {\vec {F}}={\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}}{\partial x^{2}}}}$. Die Ableitung nach ${\displaystyle x}$ steht hier stellvertretend für die Ableitung nach Ortskoordinaten. Statt eines Vektors kann auch ein Skalar ${\displaystyle F}$ stehen.

In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differentialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält (Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Helmholtz-Gleichung, Potentialgleichung).

Telegraphengleichung mit a&gt;0, b&gt;0; c=d=0

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:

${\displaystyle \Delta {\vec {F}}=a{\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}}{\partial t^{2}}}+b{\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial t}}}$

Der Vorfaktor ${\displaystyle a}$ hat die Dimension eines inversen Geschwindigkeitsquadrats.

Zum Beispiel kann man mit den Materialgleichungen der Elektrodynamik die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu

${\displaystyle \Delta {\vec {E}}={\frac {\mu \varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}+\sigma \mu _{0}\mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}$

und

${\displaystyle \Delta {\vec {H}}={\frac {\mu \varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}+\sigma \mu _{0}\mu {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}}$.

wobei ${\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\mu _{0}\,\varepsilon _{0}}}}$ (c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) benutzt wurde.

Das sind Wellengleichungen für ein verlustbehaftetes Dielektrikum. Im Fall eines Isolators ist ${\displaystyle \sigma =0}$ und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung.

Telegraphengleichung mit a&gt;0; b=c=d=0

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ der Wellengleichung:

${\displaystyle \Delta F=a{\frac {\partial ^{2}F}{\partial t^{2}}}}$

Insbesondere erhält man die ursprünglich von Oliver Heaviside eingeführten Telegraphengleichungen für die Spannung ${\displaystyle U}$ und dem Strom ${\displaystyle I}$ in einer Doppelleitung mit Induktivität ${\displaystyle L}$ und Kapazität ${\displaystyle C}$ (Auf die Länge bezogen und im Allgemeinen ortsabhängig):

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}=L\,C{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}}$

bzw.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}=L\,C{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}}$

wobei Leitungsverluste vernachlässigt wurden. Da ${\displaystyle a=L\,C}$ breitet sich die Welle mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(L\,C)}}}}$ aus.

Ein weiteres Beispiel sind die oben angegebenen Wellengleichungen des elektromagnetischen Feldes im Fall keiner Verluste (${\displaystyle \sigma =0}$ wie im freien Raum).

Literatur

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren. 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.

Weblinks

• Telegraphengleichung, Lexikon der Physik, Spektrum Verlag