Laplace-Operator

Der Laplace-Operator ist ein mathematischer Operator, der zuerst von Pierre-Simon Laplace eingeführt wurde. Es handelt sich um einen linearen Differentialoperator innerhalb der mehrdimensionalen Analysis. Er wird meist durch das Zeichen ${\displaystyle \Delta }$, den Großbuchstaben Delta des griechischen Alphabets, notiert.

Der Laplace-Operator kommt in vielen Differentialgleichungen vor, die das Verhalten physikalischer Felder beschreiben. Beispiele sind die Poisson-Gleichung der Elektrostatik, die Navier-Stokes-Gleichungen für Strömungen von Flüssigkeiten oder Gasen und die Diffusionsgleichung für die Wärmeleitung.

Definition

Der Laplace-Operator ordnet einem zweimal differenzierbaren Skalarfeld ${\displaystyle f}$ die Divergenz seines Gradienten zu,

${\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} \left(\operatorname {grad} \,f\right),}$

oder mit dem Nabla-Operator notiert

${\displaystyle \Delta f=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f=\nabla ^{2}f.}$

Das formale „Skalarprodukt“ des Nabla-Operators mit sich selbst ergibt also den Laplace-Operator. Vor allem im englischsprachigen Raum ist für den Laplace-Operator oft die Schreibweise ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ zu finden.

Da der Divergenz-Operator ${\displaystyle \operatorname {div} }$ und der Gradient-Operator ${\displaystyle \operatorname {grad} }$ unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sind, ist auch der Laplace-Operator unabhängig vom gewählten Koordinatensystem. Die Darstellung des Laplace-Operators in anderen Koordinatensystemen ergibt sich mit der Kettenregel aus der Koordinatentransformation.

Im ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raum ergibt sich in kartesischen Koordinaten

${\displaystyle \Delta f=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2}f \over \partial x_{k}^{2}}.}$

In einer Dimension reduziert sich der Laplace-Operator somit auf die zweite Ableitung:

${\displaystyle \Delta f=f''}$

Der Laplace-Operator einer Funktion kann auch als Spur ihrer Hesse-Matrix dargestellt werden:

${\displaystyle \Delta f=\mathrm {Spur} (H(f))}$

Der Laplace-Operator kann auch auf Vektorfelder angewendet werden. Mit dem dyadischen Produkt „${\displaystyle \otimes }$“ wird mit dem Nabla-Operator ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \Delta {\vec {v}}:=(\nabla \cdot \nabla ){\vec {v}}=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})=\operatorname {div(grad} ({\vec {v}})^{\top })}$

definiert. Das Superskript ${\displaystyle {}^{\top }}$ steht für Transponierung. In der Literatur findet sich auch ein Divergenz-Operator, der sein Argument gemäß ${\displaystyle \operatorname {\widetilde {div}} T=\operatorname {div} (T^{\top })}$ transponiert. Mit diesem Operator schreibt sich analog zum Skalarfeld:

${\displaystyle \Delta {\vec {v}}=\operatorname {{\widetilde {div}}(grad} \,{\vec {v}})}$

Speziell in drei Dimensionen gilt mit dem Rotationsoperator ${\displaystyle \operatorname {rot} }$

${\displaystyle \Delta {\vec {v}}=(\nabla \cdot \nabla ){\vec {v}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})=\operatorname {grad(div} ({\vec {v}}))-\operatorname {rot(rot} ({\vec {v}})),}$

was mit der Graßmann-Identität begründet werden kann. Letztere Formel definiert den sogenannten vektoriellen Laplace-Operator.^[1]

Darstellung

In zwei Dimensionen

Für eine Funktion ${\displaystyle f}$ in kartesischen Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}$ ergibt die Anwendung des Laplace-Operators

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.}$

In Polarkoordinaten ${\displaystyle (r,\varphi )}$ ergibt sich

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}}$

oder

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}.}$

In drei Dimensionen

Für eine Funktion ${\displaystyle f}$ mit drei Variablen ergibt sich in kartesischen Koordinaten ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

In Zylinderkoordinaten ${\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}$ ergibt sich

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho \,{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$

und in Kugelkoordinaten ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}.}$

Die Ableitungen der Produkte in dieser Darstellung können noch entwickelt werden, wobei sich der erste und zweite Term ändern. Der erste (radiale) Term kann in drei äquivalenten Formen geschrieben werden:

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}{\Big (}rf(r){\Big )}}$

Entsprechend gilt für den zweiten Term:

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\cot \theta }{r^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}}$

Diese Darstellungen des Laplace-Operators in Zylinder- und Kugelkoordinaten gelten nur für den skalaren Laplace-Operator. Für den Laplace-Operator, der auf vektorwertige Funktionen wirkt, müssen noch weitere Terme berücksichtigt werden, siehe weiter unten den Abschnitt „Anwendung auf Vektorfelder“.

In krummlinigen Orthogonalkoordinaten

In beliebigen krummlinigen Orthogonalkoordinaten, zum Beispiel in sphärischen Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten oder elliptischen Koordinaten gilt dagegen für den Laplace-Operator die allgemeinere Beziehung

${\displaystyle \Delta f={\rm {div\,\,grad\,\,}}f={\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}\,\,{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\left({\frac {a_{2}a_{3}\,\partial f}{a_{1}\,\partial u_{1}}}\right)+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}\,\,{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\left({\frac {a_{1}a_{3}\,\partial f}{a_{2}\,\partial u_{2}}}\right)+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}\,\,{\frac {\partial }{\partial u_{3}}}\left({\frac {a_{1}a_{2}\,\partial f}{a_{3}\,\partial u_{3}}}\right)}$

mit den durch

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{i=1}^{3}\,a_{i}\,{\hat {e}}_{i}(u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{i}}$

${\displaystyle {\rm {grad\,\,}}f=\sum _{i=1}^{3}\,{\frac {\partial f}{a_{i}\,\partial u_{i}}}\,{\hat {e}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{i}\cdot {\hat {e}}_{k}=\delta _{i,k}={\begin{cases}1&{\text{für }}i=k\\0&{\text{für }}i\neq k\end{cases}}}$

impliziert definierten Größen ${\displaystyle a_{i},u_{i},{\hat {e}}_{i}}$. Dabei haben nicht die ${\displaystyle \mathrm {d} u_{i}}$, sondern die Größen ${\displaystyle \mathrm {d} l_{i}:=a_{i}\cdot \mathrm {d} u_{i}}$ die physikalische Dimension einer „Länge“, wobei zu beachten ist, dass die ${\displaystyle a_{i}}$ nicht konstant sind, sondern von ${\displaystyle u_{1}}$, ${\displaystyle u_{2}}$ und ${\displaystyle u_{3}}$ abhängen können.

Für noch allgemeinere Koordinaten gilt die Laplace-Beltrami-Beziehung.

Anwendung auf Vektorfelder

In einem kartesischen Koordinatensystem mit ${\displaystyle x}$-, ${\displaystyle y}$- und ${\displaystyle z}$-Koordinaten und Basisvektoren ${\displaystyle {\hat {e}}_{x,y,z}}$ gilt:

${\displaystyle \Delta {\vec {v}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\vec {v}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}{\vec {v}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}{\vec {v}}=\Delta v_{x}{\hat {e}}_{x}+\Delta v_{y}{\hat {e}}_{y}+\Delta v_{z}{\hat {e}}_{z}}$

Bei Verwendung von Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten ist die Differentiation der Basisvektoren zu beachten. Es ergibt sich in Zylinderkoordinaten ${\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}$

${\displaystyle \Delta {\vec {v}}=\left(\Delta v_{\rho }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}v_{\rho }-{\frac {2}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right){\hat {e}}_{\rho }+\left(\Delta v_{\varphi }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}v_{\varphi }+{\frac {2}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial v_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\hat {e}}_{\varphi }+\Delta v_{z}{\hat {e}}_{z}}$

und in Kugelkoordinaten ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\vec {v}}=&\left(\Delta v_{r}-{\frac {2}{r^{2}}}v_{r}-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}-{\frac {2}{r^{2}\tan \theta }}v_{\theta }\right){\hat {e}}_{r}\\&+\left(\Delta v_{\theta }+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {2\cos \theta }{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\theta }\right){\hat {e}}_{\theta }\\&+\left(\Delta v_{\varphi }+{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial v_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\varphi }+{\frac {2\cos \theta }{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \varphi }}\right){\hat {e}}_{\varphi }\,.\end{aligned}}}$

Die zu den Laplace-Ableitungen der Vektorkomponenten hinzu kommenden Terme resultieren aus den Ableitungen der Basisvektoren.^[2]

Beweis

In Zylinderkoordinaten ${\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}$ werden ${\displaystyle {\hat {e}}_{\rho }={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$ als orthonormale Basisvektoren genommen. Ihre Ableitungen lauten: ${\displaystyle {\hat {e}}_{\rho ,\varphi }={\hat {e}}_{\varphi }\quad {\text{und}}\quad {\hat {e}}_{\varphi ,\varphi }=-{\hat {e}}_{\rho }}$ Hier wie im Folgenden bedeutet ein Index nach einem Komma eine Ableitung nach der angegebenen Koordinate, beispielsweise ${\displaystyle {\hat {e}}_{\rho ,\varphi }:={\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\hat {e}}_{\rho }.}$ Die Anwendung des Laplace-Operators ${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$ auf ein Vektorfeld ergibt: ${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)(v_{\rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z}{\hat {e}}_{z})\\=&{\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}(v_{\rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z}{\hat {e}}_{z})+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(v_{\rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z}{\hat {e}}_{z})\\&+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}(v_{\rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z}{\hat {e}}_{z})+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}(v_{\rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z}{\hat {e}}_{z})\\=&v_{\rho ,\rho \rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi ,\rho \rho }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z,\rho \rho }{\hat {e}}_{z}+{\frac {1}{\rho }}(v_{\rho ,\rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi ,\rho }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z,\rho }{\hat {e}}_{z})\\&+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}(v_{\rho ,\varphi }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\rho }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{\varphi ,\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }-v_{\varphi }{\hat {e}}_{\rho }+v_{z,\varphi }{\hat {e}}_{z})\\&+v_{\rho ,zz}{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi ,zz}{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z,zz}{\hat {e}}_{z}\\=&v_{\rho ,\rho \rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi ,\rho \rho }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z,\rho \rho }{\hat {e}}_{z}+{\frac {1}{\rho }}(v_{\rho ,\rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi ,\rho }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z,\rho }{\hat {e}}_{z})\\&+{\frac {1}{\rho ^{2}}}(v_{\rho ,\varphi \varphi }{\hat {e}}_{\rho }+2v_{\rho ,\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }-v_{\rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi ,\varphi \varphi }{\hat {e}}_{\varphi }-2v_{\varphi ,\varphi }{\hat {e}}_{\rho }-v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z,\varphi \varphi }{\hat {e}}_{z})\\&+v_{\rho ,zz}{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi ,zz}{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z,zz}{\hat {e}}_{z}\\=&+\left(\Delta v_{\rho }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}v_{\rho }-{\frac {2}{\rho ^{2}}}v_{\varphi ,\varphi }\right){\hat {e}}_{\rho }+\left(\Delta v_{\varphi }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}v_{\varphi }+{\frac {2}{\rho ^{2}}}v_{\rho ,\varphi }\right){\hat {e}}_{\varphi }+\Delta v_{z}{\hat {e}}_{z},\end{aligned}}}$ also die im Text angegebene Formel.

In Kugelkoordinaten können die Basisvektoren ${\displaystyle {\hat {e}}_{r}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\qquad {\hat {e}}_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi \\\cos \theta \sin \varphi \\-\sin \theta \end{pmatrix}},\qquad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}}}$ verwendet werden. Diese Vektoren haben die Ableitungen ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{r,\theta }=&{\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi \\\cos \theta \sin \varphi \\-\sin \theta \end{pmatrix}}={\hat {e}}_{\theta }\,,\quad {\hat {e}}_{r,\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \cos \varphi \\0\end{pmatrix}}=\sin \theta {\hat {e}}_{\varphi }\\{\hat {e}}_{\theta ,\theta }=&{\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \varphi \\-\sin \theta \sin \varphi \\-\cos \theta \end{pmatrix}}=-{\hat {e}}_{r}\,,\quad {\hat {e}}_{\theta ,\varphi }={\begin{pmatrix}-\cos \theta \sin \varphi \\\cos \theta \cos \varphi \\0\end{pmatrix}}=\cos \theta {\hat {e}}_{\varphi }\\{\hat {e}}_{\varphi ,\varphi }=&{\begin{pmatrix}-\cos \varphi \\-\sin \varphi \\0\end{pmatrix}}={\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{\varphi }=-\sin \theta {\hat {e}}_{r}-\cos \theta {\hat {e}}_{\theta }\end{aligned}}}$ Anwendung des Laplace-Operators ${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\tan \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}}$ auf ein Vektorfeld ergibt: