Tonstruktur (mathematische Beschreibung)

Eine Tonstruktur beschreibt ein Tonsystem mit Hilfe von Tönen und Intervallen. Seit der Antike wird der Tonvorrat einer Musikkultur zum einen über die Angabe von Tonhöhen und zum andern über den Begriff des Intervalls wiedergegeben.^[1]

Heutzutage werden Tonhöhen und Intervalle über Frequenzen und Frequenzverhältnisse beschrieben. Bekannt ist die Musiktheorie des Pythagoras mit Hilfe von Proportionen (= Saitenverhältnisse am Monochord = Kehrwert der Frequenzverhältnisse).

Die mathematische Lehre von den Tönen und Intervallen ist jedoch auch ohne diese physikalischen Begriffe exakt möglich (siehe hörpsychologische Beschreibung). Die ersten bekannten hörpsychologischen Beschreibungen eines Tonsystems stammen von Aristoxenos.

Alle unten aufgeführten Tonsysteme sind auf das Intervall der Oktave bezogen.^[2]

Der geordnete Tonraum

Jeder Ton hat eine Frequenz.

Beispiel: c′ (das eingestrichene c) hat die Frequenz 264 Hz, e′ die Frequenz 330 Hz, g′ die Frequenz 396 Hz und c″ die Frequenz 528 Hz.^[3]

Töne kann man in der Höhe unterscheiden. Dabei gilt: Je höher ein Ton erklingt, umso größer ist seine Frequenz. Mathematisch gesehen handelt es sich um eine (transitive und trichotomische) strenge Totalordnung.

Transitiv heißt: Aus a höher als b und b höher als c folgt a höher als c.

Trichotomisch heißt: Für Töne a und b gilt: Entweder a = b oder a höher als b oder b höher als a.

Der geordnete additive Intervallraum

Je zwei Tönen x und y (mit den Frequenzen f₁ und f₂) ist eindeutig ein Intervall xy zugeordnet (mit dem Frequenzverhältnis q = f₂ : f₁).

Beispiel: Die Oktave c′c″ hat das Frequenzverhältnis 528:264 = 2, die reine Quinte c′g′ das Frequenzverhältnis 396:264 = 3:2, die große Terz c′e′ das Frequenzverhältnis 330:264 = 5:4 und die kleine Terz e′g′ das Frequenzverhältnis 396:330 = 6:5.^[4]

Zu jedem Anfangston x (mit der Frequenz f₁) und zu jedem Intervall i (mit dem Frequenzverhältnis q) ist eindeutig ein Endton y (mit der Frequenz f₂ = f₁ q) des Intervalls i = xy zugeordnet.

Beispiel: Hat a′ die Frequenz f₁ = 440 Hz, so hat der Ton c″, der um eine kleine Terz mit dem Frequenzverhältnis q = 6:5 höher erklingt, die Frequenz f₂ = 440 Hz · ⁶/₅ = 528 Hz.

In der Sprache der Musiker werden Intervalle bei der Hintereinanderausführung addiert. Der Intervallraum besitzt in diesem Sinne eine additive Struktur.

Beispiel: große Terz + kleine Terz = Quinte.

12 Quinten sind ungefähr gleich 7 Oktaven. Der Unterschied wird als pythagoreisches Komma bezeichnet. Man schreibt dazu: pythagoreisches Komma = 12 Quinten − 7 Oktaven. Führt man drei reine große Terzen hintereinander aus (zum Beispiel c-e-gis-his), so erhält man (von c nach his) ein Intervall, das etwas kleiner als die Oktave ist. Der Unterschied heißt kleine Diësis. Somit: kleine Diësis = Oktave − 3 große Terzen.

Der Addition von Intervallen entspricht die Multiplikation der Frequenzverhältnisse und der Subtraktion von Intervallen die Division der Frequenzverhältnisse.

Beispiel: Der Addition kleine Terz + große Terz = Quinte entspricht die Multiplikation ⁶/₅ · ⁵/₄ = ³/₂.

Das Frequenzverhältnis des pythagoreischen Kommas errechnet sich zu (³/₂)¹² : 2⁷ = 531.441 : 524.288 ≈ 1,013.643 und das der kleinen Diësis zu 2 : (⁵/₄)³ = 128 : 125 = 1,024.

Intervalle kann man in der Größe vergleichen. Dabei gilt: Je größer das Intervall, umso größer ist sein Frequenzverhältnis.

Das Frequenzverhältnis wächst exponentiell an.

Beispiel:

Intervall	Frequenzverhältnis	Intervall	Frequenzverhältnis
1 Oktave	2	1 Quinte	3/2
2 Oktaven	4	2 Quinten	9/4
3 Oktaven	8	3 Quinten	27/8
4 Oktaven	16	4 Quinten	81/16
5 Oktaven	32	5 Quinten	243/32
•••		•••

Mathematisch gesehen ist ein Intervallraum eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe.

Intervalle und Frequenzverhältnisse

Streng mathematisch kann man formulieren:

Es gibt eine Funktion ${\displaystyle f\colon \,I\to Q}$ von der additiven Gruppe der Intervalle ${\displaystyle I}$ in die multiplikative Gruppe der Frequenzverhältnisse ${\displaystyle Q}$.

Die Abbildung ist ein Homomorphismus, d. h. werden zwei Intervalle addiert, so werden ihre Frequenzverhältnisse multipliziert.

Beispiel: Aus große Terz + kleine Terz = Quinte folgt: ${\displaystyle f}$ (große Terz) · ${\displaystyle f}$ (kleine Terz) = ${\displaystyle f}$ (Quinte), nämlich ⁵/₄ · ⁶/₅ = ³/₂.

Solche Funktionen wachsen exponentiell. Zum Beispiel: Aus ${\displaystyle f}$ (Quinte) = ³/₂ folgt ${\displaystyle f}$ (12 Quinten) = ${\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\right)^{12}}$.

Die Umkehrfunktion von ${\displaystyle f}$ ist der Logarithmus zur Basis 2. Damit lässt sich die Größe eines Intervalls als Vielfaches der Einheit Oktave oder der Untereinheit Cent „messen“ (dabei gilt 1200 Cent = 1 Oktave).

Beispiel: Da ${\displaystyle f}$ (Quinte) = ³/₂, folgt Quinte = log₂ (³/₂) Oktave ≈ 702 Cent.^[5]

Messung der Größe von Intervallen

Intervalle kann man als Vielfache von einer Oktave angeben. Oft wird jedoch die Untereinheit Cent verwendet.

Es handelt sich dabei um ein logarithmisches Maß der Frequenzverhältnisse. Die Untereinheit Cent mit der Definition 1200 Cent = 1 Oktave oder 1 gleichstufiger Halbton = 100 Cent ermöglicht eine anschauliche Vorstellung von der Größe verschiedener Intervalle, die auch der musikpraktischen Empfindung entspricht. Sie ermöglicht aber keine exakte Repräsentation all derjenigen Intervalle, die nicht dem gleichstufig-temperierten System entstammen, wie z. B. alle Intervalle der reinen oder mitteltönigen Stimmung (außer trivialerweise der ganzzahligen Vielfachen der Oktave). Diese können immer nur näherungsweise dargestellt werden, da ihre Cent-Werte irrational sind (Satz von Lindemann-Weierstraß).

Beispiel

Intervall	Frequenzverhältnis	Größe
1 Oktave	2	1200 Cent
2 Oktaven	4	2400 Cent
3 Oktaven	8	3600 Cent
…
k Oktaven	2k	1200 · k Cent
log2 (q) Oktaven	q	1200 · log2 (q) Cent
gleichstufiger Halbton = 1⁄12 Oktave	${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$	100 Cent
reine kleine Terz	6:5	${\displaystyle 1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {6}{5}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 315{,}641\,{\text{Cent}}}$
reine große Terz	5:4	${\displaystyle 1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {5}{4}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 386{,}314\,{\text{Cent}}}$
reine Quinte	3:2	${\displaystyle 1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {3}{2}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 701{,}955\,{\text{Cent}}}$
Pythagoreisches Komma	531441:524288	${\displaystyle 1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {531441}{524288}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 23{,}460\,{\text{Cent}}}$
kleine Diësis	128:125	${\displaystyle 1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {128}{125}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 41{,}059\,{\text{Cent}}}$

${\displaystyle \log _{2}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}2}}}$ (${\displaystyle \log _{b}}$ = Logarithmus zu beliebiger Basis b>0, ${\displaystyle \log _{2}}$ = Logarithmus zur Basis 2).

Durch die Verwendung des Logarithmus bei der Centberechnung wird aus der multiplikativen Struktur der Frequenzverhältnisse wieder die additive Struktur der Intervalle.

Beispiel:

Quinte = kleine Terz + große Terz ≈ 315,641 Cent + 386,314 Cent = 701,955 Cent.

pythagoreisches Komma = 12 Quinten − 7 Oktaven ≈ 12 · 701,955 Cent − 7 · 1200 Cent = 23,460 Cent.

kleine Diësis = Oktave − 3 große Terzen ≈ 1200 Cent − 3 · 386,3137 Cent ≈ 41,059 Cent.

Berechnung der Intervallgröße und des Frequenzverhältnisses

Ist ${\displaystyle q}$ das Frequenzverhältnis des Intervalls, so berechnet sich die Größe des Intervalls ${\displaystyle i}$ zu:

${\displaystyle i=\log _{2}(q){\text{ Oktave}}=1200\cdot \log _{2}(q){\text{ Cent}}}$

Beispiel: Die reine Quinte hat das Frequenzverhältnis von ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$. Dann berechnet sich ihre Größe zu

${\displaystyle i=\log _{2}({\tfrac {3}{2}}){\text{ Oktave}}=1200\cdot \log _{2}({\tfrac {3}{2}})\,{\text{Cent}}\approx 702\,{\text{Cent}}}$

Ist andererseits ${\displaystyle i}$ das Intervall, so berechnet sich das Frequenzverhältnis ${\displaystyle q}$ zu:

${\displaystyle q=2^{\frac {i}{\text{Oktave}}}=2^{\frac {i}{1200\,{\text{Cent}}}}}$

Beispiel 1: Das Intervall von der Größe ${\displaystyle 3\,{\text{Oktaven}}=3600\,{\text{Cent}}}$ hat das Frequenzverhältnis von:

${\displaystyle q=2^{\frac {3\,{\text{Oktaven}}}{\text{Oktave}}}=2^{\frac {3600\,{\text{Cent}}}{1200\,{\text{Cent}}}}=2^{3}=8}$

Beispiel 2: Die reine Quinte hat ungefähr die Größe 702 Cent, genau ${\displaystyle i=1200\cdot \log _{2}({\tfrac {3}{2}}){\text{ Cent}}}$. Das Frequenzverhältnis ${\displaystyle q}$ berechnet sich dann zu:

${\displaystyle q=2^{\frac {i}{1200\,{\text{Cent}}}}=2^{\frac {1200\cdot \log _{2}({\tfrac {3}{2}}){\text{ Cent}}}{1200\,{\text{Cent}}}}={\tfrac {3}{2}}}$

Beispiele für Intervallräume

Ein Intervallraum besteht aus der Menge aller Intervalle der zu betrachtenden Tonstruktur verbunden mit der Verknüpfung der Addition der zugehörigen Intervalle. Die Intervallgrößen einzelner Stimmungen unterscheiden sich.

In den folgenden Tabellen bedeutet:

• Ok = Oktave (Frequenzverhältnis ${\displaystyle 2\,\mathrel {\hat {=}} \,1200\,{\text{Cent}}}$),
• H = Halbton (Frequenzverhältnis ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}\,\mathrel {\hat {=}} \,100\,{\text{Cent}}}$),
• Q = Quinte (Frequenzverhältnis ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\,\mathrel {\hat {\approx }} \,702\,{\text{Cent}}}$),
• Q_m = ¼-Komma mitteltönige Quinte (Frequenzverhältnis ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{5}}\,\mathrel {\hat {\approx }} \,696{,}578\,{\text{Cent}}}$),
• T = Terz (Frequenzverhältnis ${\displaystyle {\tfrac {5}{4}}\,\mathrel {\hat {\approx }} \,386\,{\text{Cent}}}$).

Name des Intervallraums	Intervallraum
Das Quintensystem Intervallraum der pythagoreischen Stimmung	${\displaystyle {\mathcal {Q}}=\{x\cdot \mathrm {Ok} +y\cdot \mathrm {Q} \mid x,y\in \mathbb {Z} \}}$
Das ¼-Komma mitteltönige Quintensystem Intervallraum der mitteltönigen Stimmung	${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{m}=\{x\cdot \mathrm {Ok} +y\cdot \mathrm {Q_{m}} \mid x,y\in \mathbb {Z} \}}$
Das Quint-Terz-System Intervallraum der reinen Stimmung	${\displaystyle {\mathcal {QT}}=\{x\cdot \mathrm {Ok} +y\cdot \mathrm {Q} +z\cdot \mathrm {T} \mid x,y,z\in \mathbb {Z} \}}$
Der zwölfstufige Intervallraum = Intervallraum der gleichstufigen Stimmung	${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{x\cdot \mathrm {H} \mid x\in \mathbb {Z} \}}$
Der 53-stufige Intervallraum	${\displaystyle \textstyle {\mathcal {I}}_{53}=\{{\frac {n}{53}}\cdot \mathrm {Ok} \mid n\in \mathbb {Z} \}}$
Der allumfassende Intervallraum (Alle Intervalle sind beliebig teilbar.)	${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{r\cdot \mathrm {Ok} \mid r\in \mathbb {R} \}}$

Teilbarkeit von Intervallen

Im Allgemeinen kann man Intervalle vom Gehör her nicht „teilen“. Die „halbe Quinte“ (350 Cent) wäre zwischen kleiner und großer Terz anzusiedeln und ist im Stimmungssystem weder der pythagoreischen noch der mitteltönigen, reinen oder gleichstufigen Stimmung ein vorkommendes Intervall. Auch die halbe Oktave (600 Cent) existiert nicht im Stimmungssystem der pythagoreischen, der mitteltönigen oder reinen Stimmung.^[6]

Pythagoreische Stimmung

Die Grundlage der pythagoreischen Stimmung ist das Quintsystem ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ mit den folgenden Intervallen:

Intervall	Darstellung	Frequenzverhältnis	Größe in Cent
Oktave	Ok (Grundintervall)	2:1	=1200
Quinte	Q (Grundintervall)	3:2	≈702
Ganzton	2 Q − Ok	9:8	≈204
pythagoreische große Terz (Ditonos)	2 Ganztöne = 4 Q − 2 Ok	81:64	≈408
Quarte	Ok − Q	4:3	≈498
pythagoreischer Halbton (Limma)	Quart-Ditonos = 3 Ok − 5 Q	256:243	≈90
pythagoreischer chromatischer Halbton (Apotome)	Ganzton-Limma = 7Q − 4Ok	2187:2048	≈114
pythagoreisches Komma	12 Q − 7 Ok	531441:524288	≈23
ausführliche Tabelle

Mitteltönige Stimmung

Siehe auch: Die mitteltönige Stimmung in additiver Schreibweise

Die Grundlage der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung ist das ¼-Komma-mitteltönige Quintsystem mit den folgenden Intervallen:

Intervall	Darstellung	Frequenzverhältnis	Größe in Cent
Oktave Ok	Ok (Grundintervall)	2:1	=1200
Quinte Qm	Qm (Grundintervall)		≈697
Große Terz	4 Qm − 2 OK = T	5:4	≈386
Quarte	Ok − Qm		≈503
Kleine Sext	3 Ok − 4 Qm = Ok − T	8:5	≈814
Kleine Terz	2 Ok − 3 Qm		≈310
Große Sext	3 Qm − Ok		≈890
Ganzton	2 Qm − Ok		≈193
Kleine Septime	2 Ok − 2 Qm		≈1007
Halbton	3 Ok − 5 Qm		≈117
Große Septime	5 Qm − 2 Ok		≈1083
ausführliche Tabelle

Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes

In der reinen Stimmung genügt nicht nur die Angabe der Tonbezeichnung nach dem Notenbild. Es muss noch eine Bezeichnung hinzukommen, bei der erkennbar ist, ob die vorkommenden Quinten und Terzen rein erklingen. Dazu sind die Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes hilfreich:

Reine Quinten im Quintenzirkel: … es b f c g d a e …

Ein syntonisches Komma tiefer …,es,b ,c,g ,d,a ,e … (Tiefkomma vor der Tonbezeichnung)

Ein syntonisches Komma höher … ’es ’b ’c ’g ’d ’a ’e … (Hochkomma vor der Tonbezeichnung)

Beispiel: reine große Terz: c ,e und reine Quinte c g.

Beispiel: reine C-Dur-Tonleiter: c d ,e f g ,a ,h c.

Beispiel: reine,a-Moll-Tonleiter: ,a ,h c ,d ,e f g ,a.

Jede Dur-Tonart ist von der Form: 1 2 ,3 4 5 ,6 ,7 8 oder ’1 ’2 3 ’4 ’5 6 7 ’8 usw.

Jede Molltonart ist von der Form: 1 2 ’3 4 5 ’6 ’7 8 oder ,1 ,2 3 ,4 ,5 6 7 ,8 usw., wobei »1« für den ersten Ton »2« für den zweiten Ton usw. der Tonleiter steht.

Reine Stimmung

Die Grundlage der reinen Stimmung ist das Quint-Terz-System ${\displaystyle {\mathcal {QT}}}$, das aus den Intervallen der Form

${\displaystyle i=n\cdot {\text{Oktave}}+m\cdot {\text{Quinte}}+l\cdot {\text{große Terz}}}$

mit den Frequenzverhältnissen

${\displaystyle q=2^{n}\cdot \left({\frac {3}{2}}\right)^{m}\cdot \left({\frac {5}{4}}\right)^{l}}$ besteht.

Die Hauptintervalle sind:

Intervall (Beispiel)	Darstellung	Frequenzverhältnis	Größe in Cent
Oktave c c’	Ok (Grundintervall)	2:1	=1200
Quinte c g	Q (Grundintervall)	3:2	≈702
Große Terz c ,e	T (Grundintervall)	5:4	≈386
Quarte c f	Ok − Q	4:3	≈498
Kleine Sext c ’as	Ok − T	8:5	≈814
Kleine Terz c ’es	Q − T	6:5	≈316
Große Sext c ,a	Ok + T − Q	5:3	≈884
Großer Ganzton c d	2Q − Ok	9:8	≈204
Kleiner Ganzton d ,e	T − (Großer Ganzton) = Ok + T − 2Q	10:9	≈182
Kleine Septime g f (1. Möglichkeit)	Ok − (Großer Ganzton) = 2Ok − 2Q	16:9	≈996
Kleine Septime ,a g (2. Möglichkeit)	Ok − (Kleiner Ganzton) = 2Q − T	9:5	≈1018
diatonischer Halbton ,e f	Quarte − T = Ok − Q − T	16:15	≈112
chromatischer Halbton c ,cis bzw. d ,,dis	großer Ganzton - diatonischer Halbton = T + 3Q − 2Ok kleiner Ganzton - diatonischer Halbton = 2T − Q	135:128 25:24	≈92 ≈71
Große Septime c h	Ok − diatonischer Halbton = Q + T	15:8	≈1088
Syntonisches Komma ,e e	2(Große Ganztöne) − T = 4Q − 2Ok − T	81:80	≈22
Kleine Diësis ,,gis 'as	Ok - 3T	128:125	≈41
große Diësis ,,fis ''ges	4(kleine Terzen) - Ok = 4Q - 4T - Ok	648:625	≈63
ausführliche Tabelle

Superpartikuläre Brüche oder überteilige Brüche sind von der Form ${\displaystyle {\frac {n+1}{n}}}$ (n = 1, 2, 3, …). Die einzigen Intervalle mit solchen Frequenzverhältnissen sind im Quint-Terz-System: Oktave (²/₁), Quinte (³/₂), Quarte (⁴/₃), große Terz (⁵/₄), kleine Terz (⁶/₅), großer Ganzton (⁹/₈), kleiner Ganzton (¹⁰/₉), diatonischer Halbton (¹⁶/₁₅), chromatischer Halbton (²⁵/₂₄) und syntonisches Komma (⁸¹/₈₀).^[7] Im Quint-Terz-System sind Zähler und Nenner dieser Brüche nur Produkte aus 2, 3 und 5.

Wichtig in diesem Zusammenhang ist: Intervalle, deren Frequenzverhältnis super partikulär sind, lassen sich nicht teilen (insbesondere nicht halbieren).

Um aus einem Frequenzverhältnis des Quint-Terz-Systems herauszufinden, aus welchen Grundintervallen das Intervall zusammengesetzt ist, muss man den Tripellogarithmus berechnen.

Beispiel:

Die Gleichung

${\displaystyle {\frac {81}{80}}=2^{x}\cdot \left({\frac {3}{2}}\right)^{y}\cdot \left({\frac {5}{4}}\right)^{z},\quad x,y,z\in \mathbb {Z} }$

hat die eindeutige Lösung, als „Tripellogarithmus“ bezeichnet: ${\displaystyle x=-2,\ y=4}$ und ${\displaystyle z=-1}$.

Damit gilt für das Intervall ${\displaystyle i}$ mit dem Frequenzverhältnis 81:80 die Beziehung ${\displaystyle i=-2\mathrm {Ok} +4\mathrm {Q} -\mathrm {T} }$ (siehe syntonisches Komma).

Die Tonleitern der reinen Stimmung im Quintenzirkel

Bei einer Modulation in eine Nachbartonart ändern sich zwei Töne, einer davon erkennbar mit Vorzeichenwechsel, der andere geringfügig um ein syntonisches Komma. Dies lässt sich am besten mit den Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes darstellen: Für den Ton, der ein syntonisches Komma tiefer als x erklingt, wird die Bezeichnung ,x (Tiefkomma x) verwendet. Entsprechend wird mit ’x (Hochkomma x) der Ton bezeichnet, der ein syntonisches Komma höher als x liegt. Die Quinten im Quintenzirkel … as es b f c g d a … sind alle rein (Frequenzverhältnis 3:2).

Die reinen Tonleitern im Quintenzirkel haben stets das gleiche Erscheinungsbild (Bei Moll die 6. und 7. Stufe noch erhöht):

Tonleiter

Tonleitertöne tabellarisch aufgelistet

Ces-Dur

ces

des

,es

fes

ges

,as

,b

ces

,as-moll

,as

,b

ces

,des

,es

fes ,,f

ges ,,g

,as

Ges-Dur

ges

as

,b

ces

des

,es

,f

ges

,es-moll

,es

,f

ges

,as

,b

ces ,,c

des ,,d

,es

Des-Dur

des

es

,f

ges

as

,b

,c

des

,b-moll

,b

,c

des

,es

,f

ges ,,g

as ,,a

,b

As-Dur

as

b

,c

des

es

,f

,g

as

,f-moll

,f

,g

as

,b

,c

des ,,e

es ,,e

,f

Es-Dur

es

f

,g

as

b

,c

,d

es

,c-moll

,c

,d

es

,f

,g

as ,,a

b ,,h

,c

B-Dur

b

c

,d

es

f

,g

,a

b

,g-moll

,g

,a

b

,c

,d

es ,,e

f ,,fis

,g

F-Dur

f

g

,a

b

c

,d

,e

f

,d-moll

,d

,e

f

,g

,a

b ,,h

c ,,cis

,d

C-Dur

c

d

,e

f

g

,a

,h

c

,a-moll

,a

,h

c

,d

,e

f ,,fis

g ,,gis

,a

G-Dur

g

a

,h

c

d

,e

,fis

g

,e-moll

,e

,fis

g

,a

,h

c ,,cis

d ,,dis

,e

D-Dur

d

e

,fis

g

a

,h

,cis

d

,h-moll

,h

,cis

d

,e

,fis

g ,,gis

a ,,ais

,h

A-Dur

a

h

,cis

d

e

,fis

,gis

a

,fis-moll

,fis

,gis

a

,h

,cis

d ,,dis

e ,,eis

,fis

E-Dur

e

fis

,gis

a

h

,cis

,dis

e

,cis-moll

,cis

,dis

e

,fis

,gis

a ,,ais

h ,,his

,cis

H-Dur

h

cis

,dis

e

fis

,gis

,ais

h

,gis-moll

,gis

,ais

h

,cis

,dis

e ,,eis

fis ,,fisis

,gis

Fis-Dur

fis

gis

,ais

h

cis

,dis

,eis

fis

,dis-moll

,dis

,eis

fis

,gis

,ais

h ,,his

cis ,,cisis

,dis

Cis-Dur

cis

dis

,eis

fis

gis

,ais

,his

cis

,ais-moll

,ais

,his

cis

,dis

,eis

fis ,,fisis

gis ,,gisi

,ais

Die Centwerte der Töne errechnen sich zu:

Benachbarte Töne, die sich nur um das Schisma (≈2 Cent) unterscheiden, sind mit * markiert.
Ton	Größe in Cent	Vorkommen
c	=0*	in C-Dur
,his	≈2*	ab Cis-Dur
'c	≈22	ab d-moll
,,cis	≈71	ab ,e-Moll
des	≈90*	ab As-Dur
,cis	≈92*	ab D-Dur
'des	≈112*	ab f-moll
cis	≈114*	ab H-Dur
,,d	≈161	ab ,f-Moll
,d	≈182	ab F-Dur
'eses	≈202*	in ges-moll
d	≈204*	in C-Dur
'd	≈225	ab e-moll
,es	≈273*	ab Ges-Dur
,,dis	≈275*	ab ,fis-Moll
es	≈294*	ab B-Dur
,dis	≈296*	ab E-Dur
'es	≈316*	in c-moll
dis	≈318*	ab Cis-Dur
,,e	≈365	ab ,g-Moll
fes	≈384*	ab Ces-Dur
,e	≈386*	in C-dur
'fes	≈406*	ab as-moll
e	≈408*	ab D-Dur
'e	≈429	ab fis-moll
,f	≈477*	ab As-Dur
,,eis	≈478*	ab ,gis-Moll
f	≈498*	in C-Dur
,eis	≈500*	ab Fis-Dur
'f	≈520	ab g-moll
,,fis	≈569	ab ,a-Moll
ges	≈588*	ab Des-Dur
,fis	≈590*	ab G-Dur
'ges	≈610*	ab b-moll
fis	≈612*	ab E-Dur
,,g	≈659	ab ,b-Moll
,g	≈680*	ab B-Dur
,,fisis	≈682*	ab ,ais-Moll
g	≈702	in C-Dur
'g	≈723	ab a-moll
,as	≈771*	ab Ces-Dur
,,gis	≈773*	ab ,h-moll
as	≈792*	ab Es-Dur
,gis	≈794*	ab A-Dur
'as	≈814*	in c-moll
gis	≈816*	ab Fis-Dur
,,a	≈863	ab ,c-Moll
,a	≈884*	in C-Dur
,,gisis	≈886*	ab ,ais-Moll
'heses	≈904*	ab des-moll
a	≈906*	ab G-Dur
'a	≈927	ab h-moll
,b	≈975*	ab Des-Dur
,,ais	≈977*	ab ,cis-Moll
b	≈996*	ab F-Dur
,ais	≈998*	ab H-Dur
'b	1018	in c-moll
,,h	≈1067	ab ,d-Moll
ces	≈1086*	ab Ges-Dur
,h	≈1088*	in C-Dur
'ces	≈1108*	ab Ges-Dur
h	≈1110*	ab A-Dur
'h	≈1131	ab cis-moll
,,c	≈1157	ab ,es-Moll
,c	≈1178*	ab Es-Dur
,,his	≈1180*	ab ,dis-Moll
c’	=1200	in C-Dur

Die Berechnung der Centwerte hier können nach folgendem Schema vorgenommen werden. Mit p=1/12 pythagoreisches Komma ≈ 2,0 Cent errechnet sich nach der pythagoreischen Quintenzirkel zu ...es=300-3p b=1000-2p f=500-p c=0 g=700+p d=200+2p a=900+3p ... nach Halbtönen geordnet:

Gleichstufg	pythagoreisch	enharmonisch
0	c=0	his=12p
100	cis=100+7p	des=100-5p
200	d=200+2p	eses=200-10p
300	dis=300+9p	es=300-3p
400	e=400+4p	fes=400-8p
500	f=500-p	eis=500+11p
600	fis=600+6p	ges=600-6p
700	g=700+p	asas=700-11p
800	gis=800+8p	as=800-4p
900	a=900+3p	heses=900-9p
1000	ais=1000+10p	b=1000-2p
1100	h=1100+5p	ces=1100-7p
1200	c=1200	deses=1200-12p

Mit p=¹/₁₂ pythagoreisches Komma ≈ 2,0 Cent und K = syntonisches Komma ≈ 21,5 Cent errechnet sich zum Beispiel:

• ,,cis = (100+7p-2K) Cent = 71 Cent (=Intervall c ,,cis = Intervall von c nach ,,cis)
• 'as = 800-4p+K = 814 Cent (=Intervall von c 'as)
• Intervall ,,cis 'as = (700-11p+3K) Cent = 743 Cent.
  Frequenzverhältnis 2^{(700-11p+3K)/1200}= ¹⁹²/₁₂₅^[8]

Tonhöhen der rein gestimmten Dur- und Molltonarten im Oktavkreis.

Mit den 53 durch Kreismarken im Außenbereich der Oktavkreis-Graphik^[9] platzierten Tönen sind die 15 Durtonleitern mit den Quinttönen ces|ges...c ...fis|cis als Grundtöne spielbar, ebenso die 45 parallelen Tonleitern der drei Mollmodi, deren Grundtöne ,as|,es...,a...,dis|,ais eine kleine Terz unter den Quinttönen liegen. Die Tonleitern im Innenbereich illustrieren die Tonabstände an den Tonarten C-Dur und drei Mal ,a-Moll.

Gleichstufige Stimmung

Die Grundlage der gleichstufigen Stimmung ist der 12-stufige Intervallraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ mit den folgenden Intervallen:

Intervall	Darstellung	Größe in Cent
Halbton	H	=100
Ganzton	2H	=200
kleine Terz	3H	=300
große Terz	4H	=400
…
ausführliche Tabelle

Die Teilung der Oktave in 53 Tonstufen

Die Grundlage dieser Stimmung ist der 53-stufige Intervallraum ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {I}}_{53}=\{{\frac {n}{53}}\cdot \mathrm {Ok} \mid n\in \mathbb {Z} \}}$. Die Oktave wird hierbei in 53 gleiche Teile geteilt.

Zu Zeiten Zarlinos (1517–1590) lehrte man in Musikschulen, dass man die große Terz rein intonieren kann und es dadurch Abweichungen von der pythagoreischen Stimmung gibt. Es wurde gelehrt, dass die Tonleiter so zu intonieren ist, dass man den folgenden Intervalle Teile zuordnen kann.

• cd=fg=ah=9 Teile (großer Ganzton)
• de=ga=8 Teile (kleiner Ganzton)
• ef=hc=5 Teile (diatonischer Halbton)

Notiert man den Abstand der Tonleiter von c aus in Klammer und den Abstand zwischen den Tönen tiefer geschrieben, so lautet die C-Dur-Tonleiter:

c(0) 9 d(9) 8 ,e(17) 5 f(22) 9 g(31) 8 ,a(39) 9 ,h(48) 5 c(53)

,e („Tiefkomma e“) bedeutet hier in Abwandlung der Eulerschen Schreibweise: „,e erklingt 1/53 Oktave tiefer als e“ usw.^[10]

Die Tonleiter wird also hier in 53 Teile geteilt, wobei

große Terz c,e = 17 Teile
Quinte = cg = 31 Teile[11]

Die Tonleitern des Quintenzirkel von c aus notiert. In Klammer die Stufe der 53-Skala:

C-Dur:     c(0)    d(9)    ,e(17)    f(22)    g(31)   ,a(39)   ,h(48)     c(53)
G-Dur:     c(0)    d(9)    ,e(17) ,fis(26)    g(31)    a(40)   ,h(48)     c(53)
D-Dur:  ,cis(4)    d(9)     e(18) ,fis(26)    g(31)    a(40)   ,h(48)  ,cis(57)
A-Dur:  ,cis(4)    d(9)     e(18) ,fis(26) ,gis(35)    a(40)    h(49)  ,cis(57)
E-Dur:  ,cis(4) ,dis(13)    e(18)  fis(27) ,gis(35)    a(40)    h(49)  ,cis(57)
H-Dur:   cis(5) ,dis(13)    e(18)  fis(27) ,gis(35) ,ais(44)    h(49)   cis(58)
Fis-Dur: cis(5) ,dis(13) ,eis(22)  fis(27)  gis(36) ,ais(44)    h(49)   cis(58)
Cis-Dur: cis(5)  dis(14) ,eis(22)  fis(27)  gis(36) ,ais(44) ,his(53)   cis(58)

C-Dur:     c(0)     d(9)   ,e(17)    f(22)    g(31)   ,a(39)   ,h(48)     c(53)
F-Dur:     c(0)    ,d(8)   ,e(17)    f(22)    g(31)   ,a(39)    b(44)     c(53)
B-Dur:     c(0)    ,d(8)    es(13)   f(22)   ,g(30)   ,a(39)    b(44)     c(53)
Es-dur:   ,c(52)   ,d(8)    es(13)   f(22)   ,g(30)   as(35)    b(44)    ,c(52)
As-dur:   ,c(52)    des(4)  es(13)  ,f(21)   ,g(30)   as(35)    b(44)    ,c(52)
Des-dur:  ,c(52)    des(4)  es(13)  ,f(21)  ges(26)   as(35)   ,b(43)    ,c(52)
Ges-dur: ces(48)    des(4) ,es(12)  ,f(21)  ges(26)   as(35)   ,b(43)   ces(48)
Ces-dur: ces(48)    des(4) ,es(12) fes(17)  ges(26)  ,as(34)   ,b(43)   ces(48)

Hermann von Helmholtz schreibt in seiner Lehre von den Tonempfindungen folgendes: „Will man eine Scala in fast genauer natürlicher Stimmung herstellen, welche unbegrenzt fortzumodulieren gestattet, … so lässt sich dies durch die schon von Mercator vorgeschlagene Teilung der Octave in 53 gleich große Intervalle erreichen.“^[12]

Die 53-Skala

Stufe	Abstand von c in Cent	reine Stimmung in Cent
00	0	c=0 ,his=2
01	23	'c=22 his=23
02	45	,,,cis=49
03	68	,,cis=71
04	91	des=90 ,cis=92
05	113	’des=112 cis=114
06	136	’’des=133
07	158	,,d=161
08	181	,d=182 ,,cisis=184
09	204	'eses=202 d=204 ,cisis=206
10	226	'd=225 cisis=227
11	249	,,,dis=253
12	272	,es=273 ,,dis=275
13	294	es=294 ,dis=296
14	317	’es=316 dis=318
15	340	’’es=337
16	362	,,e=365
17	385	fes=384 ,e=386
18	408	’fes=406 e=408
19	430	'e=429
20	453	,,,eis=257 '''fes=449
21	475	,f=477 ,,eis=478
22	498	f=498 ,eis=500
23	521	'f=520 eis=522
24	543	,,,fis=547
25	566	,,fis=569
26	589	ges=588 ,fis=590
27	611	’ges=610 fis=612
28	634	"ges=631
29	657	,,g=659
30	679	,g=680 ,,fisis=682
31	702	g=702 ,fisis=704
32	725	'g=723 fisis=725
33	747	,,,gis=751
34	770	,as=771 ,,gis=772
35	792	as=792 ,gis=794
36	815	’as=814 gis=816
37	838	"as =835
38	860	,,a=863
39	883	,a=884 ,,gisis=886
40	906	'heses=904 a=906
41	928	'a=927 gisis=929
42	951	,,,ais=955
43	974	,b=975 ,,ais=977
44	996	b=996 ,ais=998
45	1019	’b=1018 ais=1020
46	1042	"b=1039
47	1064	,,h=1067
48	1087	ces=1086 ,h=1088
49	1109	’ces=1108 h=1110
50	1132	'h=1131
51	1155	,,c=1157
52	1177	,c=1178 ,,his1180
53	1200	c=1200

Intervalltabelle mit Vergleich mit der reinen Stimmung

Intervall	Größe in Cent	Stufe im 53-System	Größe in Cent	Unterschied genau
diat. Halbton	111,731	05	113,208	−1,476
kleiner Ganzton	182,404	08	181,132	+1,272
großer Ganzton	203,910	09	203,774	+0,136
kleine Terz	316	14	317	−1,34
große Terz	386	17	385	+1,40
Quarte	498	22	498	−0,07
Tritonus	590	26	589	+0,07
Quinte	702	31	702	−1,41
kleine Sext	814	36	815	−1,01
große Sext	884	39	883	+1,34
Kleine Septime I	996	44	996	−0,14
Kleine Septime II	1018	45	1019	−1,27
große Septime	1088	48	1087	+1,47
Oktave	1200	53	1200	0,00

Man sieht hier: Alle Töne des Quintenzirkels werden mit einer Toleranz von einem Schisma erreicht. Um das Schisma von 1,95 Cent unterscheiden sich die Töne c und ,his / des und ,cis / 'es und dis usw. (Siehe dritte Spalte in der ersten Tabelle mit je zwei Tönen).

Stimmungen, dargestellt innerhalb der 53-Mercatorskala

Der Darstellung der verschiedenen Stimmungen mit der Größe als Vielfache von k ist besonders übersichtlich.

k=1200:53 = 22,642 Cent. Die jeweilige (gerundete Darstellung) hat eine Genauigkeit von 1 Cent.

Intervallgröße

Intervall	pythagoreisch	rein	mitteltönig
c-d	9k	9k	81/2k
d-e	9k	8k	81/2k
e-f	4k	5k	51/4k
f-g	9k	9k	81/2k
g-a	9k	8k	81/2k
a-h	9k	9k	81/2k
h-c	4k	5k	51/4k

Die 53-stufige Skala in reiner Stimmung nach Tanaka

Tanaka Shōhei betrachtet in seiner Dissertation 1890 die folgende 53-Skala in reiner Stimmung. Er verwendet dabei die Eulerschreibweise (mit Unter- und Oberstrich statt Tief- und Hochkomma vor der Tonbezeichnung).

• Waagrechte Tonfolgen sind reine Quinten mit dem Frequenzverhältnis ³/₂; zum Beispiel c g d …
• Tonfolgen schräg nach links unten sind reine Großterzen mit dem Frequenzverhältnis ⁵/₄; zum Beispiel c 'as ''fes …
• Tonfolgen schräg nach rechts unten sind reine Kleinterzen mit dem Frequenzverhältnis ⁶/₅; zum Beispiel c 'es ''ges …

    ,,,fis ,,,cis  ,,,gis   ,,,dis  ,,,ais   ,,,eis ,,,his  ,,,fisis
     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
    /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
   /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
  ,,d    ,,a     ,,e     ,,h     ,,fis   ,,cis   ,,gis   ,,dis   ,,ais
   \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
    \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
     ,f       ,c      ,g      ,d      ,a     ,e      ,h      ,fis     ,cis
       \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
        \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
         \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
          as      es      b       f       c       g       d       a       e
           \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
            \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
             \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
            'ces     'ges    'des    'as     'es     'b      'f      'c      'g
               \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
                \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
                 \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
                ''eses   ''bb    ''fes   ''ces   ''ges   ''des   ''as    ''es    ''b

Erweitert man diese waagrechten und schrägen Tonfolgen, kann man auf den Tonvorrat der 53-Skala zurückgreifen, wenn man Töne - obgleich numerisch verschiedenartig - enharmonisch „schismatisch“ (±S) bzw. „kleismatisch“ (±K) verwechselt.

S: Schismatisch verwechselte Töne - zum Beispiel ,his-c oder h-'ces usw. unterscheiden sich um ein Schisma = Pythagoreisches Komma - Syntonisches Komma ≈ 2 Cent.

K: Kleismatisch verwechselte Töne - zum Beispiel '''des-,,,cisis oder '''fes-,,,eis oder c-,,,,,,hisis usw. unterscheiden sich um ein Kleisma = 2Oktaven - 6(kleineTerzen) - Quarte = 6Großterzen - 5Quinten + Oktave ≈ 8 Cent.^[13]

Zum Beispiel:

• In der Quintenfolge c g d a e h kann man h durch 'ces ersetzten mit einer Ungenauigkeit von einem Schisma.
• In der Großterzenfolge c 'as ''fes '''des kann man '''des ersetzten durch ,,,cis mit einer Ungenauigkeit von einem Kleisma.
• In der Kleinterzenfolge c 'es ''ges ''bb (Tanakas Schreibweise bb=heses) kann man das ''bb ersetzen durch ,,,,ais mit einer Ungenauigkeit von einem Kleisma.

Erläuterung zur Originaltabelle von Tanaka: Setzt man das Parallelogramm nach allen Seiten fort, so erhält man:

oben je einen Ton zusätzlich rechts und links in der Quintenreihe plus die Zeile darüber

  ,,,,dis  ,,,,ais ,,,,eis ,,,,his ,,,,fisis ,,,,cisis ,,,,gisis ,,,,disis ,,,,aisis ,,,,eisis
    /  \    / \    /  \     /  \    /  \     /  \       / \        /   \    /    \   /
   /    \  /   \  /    \   /    \  /    \   /    \     /   \      /     \  /      \ /
,,,h ,,,fis ,,,cis  ,,,gis     ,,,dis  ,,,ais   ,,,eis      ,,,his   ,,,fisis ,,,cisis

unten je einen Ton rechts und links in der Quintenreihe plus die Zeile darunter

       ''asas  ''eses   ''bb   ''fes   ''ces   'ges   ''des   ''as  ''es   ''b     ''f
        /  \      /\      / \    /  \     / \     / \    / \    / \   /  \   /  \    /  \
       /    \    /  \    /   \  /    \   /   \   /   \  /   \  /   \ /    \ /    \  /    \
'''feses '''ceses '''geses '''deses '''asas '''eses '''bb '''fes '''ces  '''ges '''des '''as

Die enharmonischen Verwechslungen sind hierbei oben

,,,h=''b+K-S / ,,,cisis=,,d+S (K=Kleisma≈8 Cent, S=Schisma≈2 Cent)

,,,,dis=''eses+K / ,,,,ais=''heses+K / ,,,,eis=''fes+K / ,,,,his=''ces+K /,,,,fisis=''ges+K

,,,cisis=''des+K/ ,,,,gisis=''as+K/ ,,,,disis=''es+K/ ,,,,aisis=''b+K/ ,,,,eisis=,,,fis+S

und unten

''asas='g-S / ''f=,,,fis-K+S

'''feses=''es-S / '''ceses=''b-S / '''geses=,,,fis-K / '''deses=,,,cis-K / '''asas=,,,gis-K / '''eses=,,,dis-K

'bb=,,,ais-K / '''fes=,,,eis-K / '''ces=,,,his+K / '''ges=,,,fisis+K / '''des=,,d-K+S / '''as=,,a-K+S

„Wenn man sich damit begnügt, in den äußersten Modulationsfällen, d.h. wenn die Töne außerhalb der Grenzen eines Parallelogramms zur Anwendung gebracht werden, die beiden Verwechslungen wirklich eintreten zu lassen, so gestattet die 53stufige Leiter absolute Freiheit der Modulation nach allen Richtungen.“

Die mitteltönige Stimmung in additiver Schreibweise

In der additiven Schreibweise für Intervalle, die seit Zarlino verwendet wird, sind die benachbarten Intervalle der reinen C-Dur-Tonleiter:

• c-d = 9 Teile, d-e = 8 Teile, e-f = 5 Teile, f-g = 9 Teile, g-a = 8 Teile, a-h = 9 Teile und h-c′ = 5 Teile.^[14]

In dieser Einteilung sind die großen Terzen c-e = f-a = g-h = 17 Teile rein (Frequenzverhältnis ⁵/₄), die Quinten F-c = c-g = e-h= g-d′ = a-e′ = 31 Teile rein (Frequenzverhältnis ³/₂) und die Oktave c-c′ = 53 Teile rein (Frequenzverhältnis ²/₁).

Wenn wir nun, um weitere Tonleitern spielen zu können, weitere Halbtöne dazwischen einfügen, kommt das System sofort durcheinander, da sich die Ganztöne (groß = 9 Teile, klein = 8 Teile) verändern. (Theoretisch entstehen die beiden verschiedenen Ganztöne durch Überlegungen in der Harmonik. In Melodien kann der Unterschied vernachlässigt werden.) Bei der mitteltönigen Stimmung werden diese beiden Ganztöne gemittelt.

Die C-Dur-Tonleiter lautet dann:

• c-d = 8¹/₂ Teile, d-e = 8¹/₂ Teile, e-f = 5¹/₄ Teile, f-g = 8¹/₂ Teile, g-a = 8¹/₂ Teile, a-h = 8¹/₂ Teile und h-c′ = 5¹/₄ Teile.^[15]

Bei dieser Einteilung sind die großen Terzen c-e, f-a und g-h rein, die Quinten F-c = c-g = g-d′ = d-a = a-e′ = e-h = 30³/₄ Teile groß (also ¹/₄ Teil kleiner als die reine Quinte).

Vier mitteltönige Quinten und die damit erhaltene reine Terz

Geringen Schwebungen in den Quinten, aber keine Schwebung bei der reinen Terz.

Bei der mitteltönigen Stimmung kann nun die C-Durtonleiter um weiteren Halbtönen ohne Probleme ergänzt werden, oft folgendermaßen:

• cis-d = d-es = fis-g = gis-a = a-b = 5³/₄ Teile.

Wie hier die C-Dur-Tonleiter sind nun auch die Tonleitern in B-, F-, G-, D- und A-Dur aufgebaut.

Enharmonisch verwechselte Töne unterscheiden sich allerdings um 2 Teile, wie der folgenden Tabelle entnommen werden kann.

Beschreibung der Tonstruktur hörpsychologisch ohne Akustik

Das Verständnis über Töne und Intervalle kann ohne physikalische Begriffe vermittelt werden. Die ersten bekannten hörpsychologisch mathematischen Beschreibungen eines Tonsystems stammen von Aristoxenos.^[16] Die Tonhöhe eines bestimmten Tones kann durch eine „Ur“-Stimmgabel ohne Angabe seiner Frequenz festgelegt und weitervermittelt werden (ähnlich wie die Einheit Meter durch das Urmeter festgelegt werden kann). Ein Lehrer kann seinem Schüler „zeigen“, was ein Oktave, eine Quinte, eine große Terz usw. ist, ohne auf das Frequenzverhältnis der Schwingungen einzugehen. Im Folgenden wird die zugrundeliegende Theorie erläutert.^[17]

Beschreibung der Tonstruktur als Algebraische Struktur

Siehe auch: Algebraische Struktur

Bei einer Tonstruktur hat man einerseits eine Menge von Tönen und andererseits eine Menge von Intervallen, für die die folgenden Regeln gelten:

Jedem Tonpaar ${\displaystyle (x,y)}$ wird ein eindeutiges Intervall ${\displaystyle i={\overrightarrow {xy}}}$ von ${\displaystyle x}$ zu ${\displaystyle y}$ zuordnet.

Ist umgekehrt der Grundton ${\displaystyle x}$ und das Intervall ${\displaystyle i}$ bekannt, so ist durch ${\displaystyle i={\overrightarrow {xy}}}$ der Endton ${\displaystyle y}$ eindeutig bestimmt.

Die Hintereinanderausführung von Intervallen definiert eine Addition: Ist ${\displaystyle i={\overrightarrow {xy}}}$ und ${\displaystyle j={\overrightarrow {yz}}}$, dann ist ${\displaystyle i+j={\overrightarrow {xz}}}$.

Intervalle kann man vergleichen: Wir schreiben ${\displaystyle i<j}$, wenn der Endton von ${\displaystyle j}$ höher als der Endton von ${\displaystyle i}$ bei gleichem Grundton ist.

Für Intervalle gilt auf der additiven musikalischen Ebene das alltägliche Rechnen mit Größen. Mathematisch gesehen ist der Intervallraum eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe. Dies ergibt sich rein hörpsychologisch aus der Erfahrung der musikalischen Praxis.

Zum Messen der Intervallgröße eignet sich als Maßeinheit die Oktave mit der Untereinheit Cent mit 1200 Cent = 1 Oktave.

Zum Beispiel sind 12 Quinten ungefähr so groß wie sieben Oktaven. Daraus folgt: 12 Quinten ≈ 7 Oktaven, also Quinte ≈ ${\displaystyle {\frac {7}{12}}}$ Oktave = 700 Cent.

Beispiel 1 (Oktave = 12 Halbtöne)

• Geht man 12 Quinten nach oben, so erhält man oktaviert (ungefähr) wieder den Ausgangston: 12 Quinten = 7 Oktaven. Folglich ergibt sich Quinte = ⁷⁄₁₂ Oktave = 700 Cent. Entsprechend:
• Geht man drei große Terzen nach oben, so erhält man (ungefähr) eine Oktave. Also ist große Terz = ¹⁄₃ Oktave =400 Cent.^[18] Hier kann man nun weiter rechnen:
• Kleine Terz = Quinte − große Terz = ¹⁄₄ Oktave =300 Cent und
• Halbton = Große Terz − kleine Terz = ¹⁄₁₂ Oktave =100 Cent.
• So kann man rein hörpsychologisch die Oktave (angenähert) in 12 Halbtöne teilen und jedes Intervall als Vielfaches von Halbtönen darstellen.^[16]

Beispiel 2 (Oktave = 53 Kommata)

Zu Zeiten Zarlinos (16. Jahrhundert) lehrte man in Musikschulen: Der große Ganzton hat eine Größe von 9 Teilen, der kleine Ganzton von 8 Teilen und der diatonische Halbton von 5 Teilen.

verminderte Terz B-Gis = 10 Teile

Hieraus folgt:

• Oktave = 1200 Cent = 3 große Ganztöne + 2 kleine Ganztöne + 2 diatonische Halbtöne = 53 Teile
• große Terz = großer Ganzton + kleiner Ganzton = 17 Teile = 385 Cent
• kleine Terz = großer Ganzton + diatonischer Halbton = 14 Teile = 317 Cent
• Quinte = große Terz + kleine Terz = 31 Teile = 702 Cent^[19]

Mit dieser Einteilung ließen sich die Größenverhältnisse für die reine Intonation von Tonschritten einfach beschreiben.

• diatonischer Halbton = 5 Teile
• kleiner Ganzton = 8 Teile
• Großer Ganzton = 9 Teile
• verminderte Terz (siehe nebenstehendes Beispiel B - Gis = B-A (5Teile) + A-Gis (5 Teile) = 10 Teile

---

Diese Teilung der Oktave in 53 Teile kann aus zwei ganzzahligen Beziehungen für die drei Intervalle Ok =Oktave, Q=Quinte und gT=große Terz ohne Bezugnahme auf die Frequenzverhältnisse rein mathematisch hergeleitet werden. (Am Spinett bestätigt von Neumaier^[16])

• 53 Q = 31 Ok (kein Unterschied zwischen Ausgangston und oktaviert nach 53 Quinten hörbar)
• 12 Q - 7Ok = 4Q - 2Ok -gT (kein Unterschied zwischen syntonischem Komma und pythagoreischem Komma hörbar). Umgeformt ergibt sich 8 Q = 5 Ok - gT. Musikalische interpretiert: kein Unterschied zwischen gis und 'as. (Der genaue Unterschied zwischen gis und 'as ist ein Schisma = 2 Cent.).

Dieses Gleichungssystem aufgelöst ergibt mit k = ¹/₅₃Ok:

• Ok = 53k
• Q = 31k
• gT = 17k^[20]

Nun kann man weitere Intervalle definieren und als Vielfache von k darstellen: Zum Beispiel:

• Quarte = Ok - Q = 22k
• kleine Terz = Q - gT = 14k
• großer Ganzton = 2Q - Ok = 9k
• kleiner Ganzton = gT - großer Ganzton = 8k
• diatonischer Halbton = gT - kleine Terz = 5k

Beispiel 3 (Das Quint Terz-System)

Axiom: Es gibt einen Homomorphismus f von der additiven Gruppe des Intervallraums mit den Intervallen Ok = Oktave, Q = Quinte und gT = große Terz in die multiplikative Gruppe der reellen Zahlen, für die gilt:

• f(Ok) = 2
• f(Q) = ³/₂ und
• f(gT) = ⁵/₄

Homomorphismus besagt: f(i₁ +i₂) = f(i₁)•f(i₂) und f(r•i) = f(i)^r für Intervalle i₁, i₂ und i sowie für eine reelle Zahl r^[21].

Für die Berechnung von r und s für Q=r•Ok und gT = s•Ok folgt mit der Untereinheit Ok = 1200 Cent:

• f(r•Ok) = 2^r = ³/₂ also Q = log₂(³/₂)Ok = 701,955 Cent
• f(s•Ok) = 2^s = ⁵/₄ also gT = log₂(⁵/₄)Ok = 386,314 Cent.

Beispiele ausführlich

Intervalle der gleichstufigen Stimmung

Die 12-stufige Tastatur

Frequenzverhältnis	Intervallgröße in Cent	Intervallbezeichnung
1	0	Prim
${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{1}}}}$	100	gleichstufiger Halbton
${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{2}}}}$	200	gleichstufiger Ganzton
${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{3}}}}$	300	gleichstufige kleine Terz
${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{4}}}}$	400	gleichstufige große Terz
${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{5}}}}$	500	gleichstufige Quarte
${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{6}}}}$	600	gleichstufiger Tritonus
${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}}$	700	gleichstufige Quinte
${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{8}}}}$	800	gleichstufige kleine Sexte
${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{9}}}}$	900	gleichstufige große Sexte
${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{10}}}}$	1000	gleichstufige kleine Septime
${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{11}}}}$	1100	gleichstufige große Septime
2	1200	Oktave

Intervalle der pythagoreischen Stimmung

Um 1270 gab es Instrumente mit 12-stufigen Tastaturen. Auf diesen musste man sich entscheiden, wie die schwarzen Tasten gestimmt wurden. Entweder als Des oder als Cis, als Dis oder Es u. s. w.

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der pythagoreischen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervalle: C-Cis, C-Des*, C-D, C-Dis*, C-Es, C-E, …, Cis-Dis*, Cis-Es, Cis-E, Cis-F, Cis-Fis, …, Des*-Es, Des*-E, …, D-Dis*, D-Es, D-E, … Die Intervalle wurden dann der Größe in Cent nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Bei der pythagoreischen Stimmung sind die Quinten der Folge Ges*-Des*-As*-Es-B-F-C-G-D-A-E-H-Fis-Cis-Gis-Dis*-Ais* rein (Frequenzverhältnis 3:2).

Hinweis: Die Töne Ges*, Des*, As*, Dis* und Ais* sind auf einer 12-stufigen Skala nicht vorhanden. Sie unterscheiden sich von ihren enharmonisch Verwechselten um das pythagoreische Komma.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der zwei Grundintervalle Oktave und Quinte darstellbar.

• Ok = Oktave (Frequenzverhältnis 2:1)
• Q = Quinte (Frequenzverhältnis 3:2).

Intervall	von C aus bis	Frequenzverhältnis	in Cent	Berechnung	Intervallbezeichnung
Cis-Des*	Deses	524288/531441	−23,460	−12Q + 7Ok	pythagoreische verminderte Sekunde = −Pythagoreisches Komma[22]
E-F	Des	256/243	90,225	−5Q + 3Ok	pythagoreisches Limma = pythagoreische kleine Sekunde
C-Cis	Cis	2187/2048	113,685	7Q − 4Ok	pythagoreische Apotome = pythagoreische übermäßige Prim
Cis-Es	Eses	65536/59049	180,450	−10Q + 6Ok	pythagoreische verminderte Terz
C-D	D	9/8	203,910	2Q − Ok	großer Ganzton = pythagoreische Sekunde
Des*-Dis*	Cisis	4782969/4194304	227,370	14Q − 8Ok	pythagoreische doppelt übermäßige Prim
Dis*-Ges*	Feses	16777216/14348907	270,675	−15Q + 9Ok	pythagoreische doppelt verminderte Quarte
D-F	Es	32/27	294,135	−3Q + 2Ok	pythagoreische kleine Terz
Es-Fis	Dis	19683/16384	317,595	9Q − 5Ok	pythagoreische übermäßige Sekunde
Cis-F	Fes	8192/6561	384,360	−8Q + 5Ok	pythagoreische verminderte Quarte
C-E	E	81/64	407,820	4Q − 2Ok	pythagoreische große Terz = Ditonos
Ges*-Ais*	Disis	43046721/33554432	431,280	16Q − 9Ok	pythagoreische doppelt übermäßige Sekunde
Cis-Ges*	Geses	2097152/1594323	474,585	−13Q + 8Ok	pythagoreische doppeltverminderte Quinte
C-F	F	4/3	498,045	−Q + Ok	Quarte
Es-Gis	Eis	177147/131072	521,505	11Q − 6Ok	pythagoreische übermäßige Terz
E-B	Ges	1024/729	588,270	−6Q + 4Ok	pythagoreische verminderte Quinte
C-Fis	Fis	729/512	611,730	6Q − 3Ok	pythagoreische übermäßige Quarte = pythagoreischer Tritonus
Gis-es	Asas	262144/177147	678,495	−11Q + 7Ok	pythagoreische verminderte Sexte
C-G	G	3/2	701,955	Q	Quinte
Es-Ais*	Fisis	1594323/1048576	725,415	13Q − 7Ok	pythagoreische doppelt übermäßige Quarte
Ais*-ges*	Heseses	67108864/43046721	768,720	−16Q + 10Ok	pythagoreische doppelt verminderte Septime
E-c	As	128/81	792,180	−4Q + 3Ok	pythagoreische kleine Sext
C-Gis	Gis	6561/4096	815,640	8Q − 4Ok	pythagoreische übermäßige Quinte
Cis-B	Heses	32768/19683	882,405	−9Q + 6Ok	pythagoreische verminderte Septime
C-A	A	27/16	905,865	3Q − Ok	pythagoreische große Sexte
Des*-Ais*	Gisis	14348907/8388608	929,325	15Q − 8Ok	pythagoreische doppelt übermäßige Quinte
Dis*-des*	ceses	8388608/4782969	972,630	−14Q + 9Ok	pythagoreische doppelt verminderte Oktave
C-B	B	16/9	996,090	−2Q + 2Ok	pythagoreische kleine Septime
Es-cis	Ais	59049/32768	1019,550	10Q − 5Ok	pythagoreische übermäßige Sexte
Cis-c	ces	4096/2187	1086,315	−7Q + 5Ok	pythagoreische verminderte Oktave
C-H	H	243/128	1109,775	5Q − 2Ok	pythagoreische große Septime
Cis-des*	deses	1048576/531441	1176,540	−12Q + 8Ok	pythagoreische verminderte None (= Ok − pythagoreische verminderte Sekunde)
C-c	c	2/1	1200	Ok	Oktave

Intervalle der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung

Mitteltönige Tastatur

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der mitteltönigen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervall: (C)-(Cis), (C)-(Des*), (C)-(D), (C)-(Dis*), (C)-(Es), (C)-(E), …, (Cis)-(Dis*), (Cis)-(Es), (Cis)-(E), (Cis)-(F), (Cis)-(Fis), …, (Des*)-(Es), (Des*)-(E), …, (D)-(Dis*), (D)-(Es), (D)-(E), … Die Intervalle wurden dann der Größe (in Cent) nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Bei der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung sind die Quinten der Folge (Ges*)-(Des*)-(As*)-(Es)-(B)-(F)-(C)-(G)-(D)-(A)-(E)-(H)-(Fis)-(Cis)-(Gis)-(Dis*)-(Ais*) um ein Viertel des syntonischen Kommas (Frequenzverhältnis 81:80) kleiner (oder enger) als die reine Quinte gestimmt. Diese Quinten haben also das Frequenzverhältnis

${\displaystyle w={\frac {3}{2}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {80}{81}}}={\sqrt[{4}]{5}}.}$

Hinweis: Die Töne (Ges*), (Des*), (As*), (Dis*) und (Ais*) sind auf einer 12-stufigen Skala nicht vorhanden. Sie unterscheiden sich von ihren enharmonisch Verwechselten um die kleine Diësis (41 Cent). Intervalle der Form zum Beispiel (Cis)-(Des*) vermitteln jedoch einen Eindruck, welche Unreinheiten bei enharmonischen Verwechslungen auftreten.

Das Frequenzverhältnis in der dritten Spalte ist häufig algebraisch-irrational. Hier bedeutet

${\displaystyle w={\sqrt[{4}]{5}},\ w^{2}={\sqrt[{4}]{5^{2}}}{\text{ und }}w^{3}={\sqrt[{4}]{5^{3}}}.}$

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der zwei Grundintervalle des Mitteltönig-Quinten-Systems darstellbar.

• Ok = Oktave
• Q_m = mitteltönige Quinte.

Die Große Terz T = (C) − (E) ist hier darstellbar als T = 4Q_m − 2Ok. Die jeweilige Berechnung erscheint in der 4. Spalte.

Intervall	von C aus bis	Frequenzverhältnis	in Cent	Berechnung	Intervallbezeichnung
(Cis)-(Des*)	(Deses)	128:125	41,059	−12Qm + 7Ok = −3T + Ok	(größere) verminderte Sekunde = kleine Diësis
(C)-(Cis)	(Cis)	(5:16)w3	76,049	7Qm − 4Ok = 2T − Qm	chromatischer mitteltöniger Halbton
(E)-(F)	(Des)	(8:25)w3	117,108	−5Qm + 3Ok = −T − Qm + Ok	diatonischer mitteltöniger Halbton
(Des*)-(Dis*)	(Cisis)	(125:256)w2	152,098	14Qm − 8Ok = 4T − 2Qm	mitteltönige doppelt übermäßige Prim
(C)-(D)	(D)	(1:2)w2	193,157	2Qm − Ok	mitteltöniger Ganzton
(Cis)-(Es)	(Eses)	(64:125)w2	234,216	−10Qm + 6Ok = −3T + 2Qm	mitteltönig verminderte Terz
(Es)-(Fis)	(Dis)	(25:32)w	269,206	9Qm − 5Ok = 2T + Qm − Ok	mitteltönige übermäßige Sekunde
(D)-(F)	(Es)	(4:5)w	310,265	−3Qm + 2Ok = −T + Qm	mitteltönige kleine Terz
(Ges*)-(Ais*)	(Disis)	625:512	345,255	16Qm − 9Ok = 4T − Ok	mitteltönig doppelt übermäßige Sekunde
(Dis*)-(Ges*)	(Feses)	(512:625)w	351,324	−15Qm + 9Ok = −4T + Qm + Ok	mitteltönig doppelt verminderte Quarte
(C)-(E)	(E)	5:4	386,314	4Qm − 2Ok = T	große Terz
(Cis)-(F)	(Fes)	32:25	427,373	−8Qm + 5Ok = −2T + Ok	verminderte Quarte
(Es)-(Gis)	(Eis)	(25:64)w3	462,363	11Qm − 6Ok = 3T − Qm	mitteltönig übermäßige Terz
(C)-(F)	(F)	(2:5)w3	503,422	−Qm + Ok	mitteltönige Quarte
(Cis)-(Ges*)	(Geses)	(256:625)w3	544,480	−13Qm + 8Ok = −3T − Qm + 2Ok	mitteltönig doppelt verminderte Quinte
(F)-(H)	(Fis)	(5:8)w2	579,471	6Qm − 3Ok = T + 2Qm − Ok	mitteltönige übermäßige Quarte, mitteltönig Tritonus
(Cis)-(G)	(Ges)	(16:25)w2	620,529	−6Qm + 4Ok = −2T + 2Qm	mitteltönige verminderte Quinte
(Des*)-(Gis)	(Fisis)	(125:128)w	655,520	13Qm − 7Ok = 3T + Qm − Ok	mitteltönig doppelt übermäßige Quart
(C)-(G)	(G)	w	696,578	Qm	mitteltönige Quinte
(Gis)-(es)	(Asas)	(128:125)w	737,637	−11Qm + 7Ok = −3T + Qm + Ok	mitteltönig verminderte Sexte
(C)-(Gis)	(Gis)	25:16	772,627	8Qm − 4Ok = 2T	kleine übermäßige Quinte, Doppelterz
(E)-(c)	(As)	8:5	813,686	−4Qm + 3Ok = −T + Ok	kleine Sexte
(Des*)-(Ais*)	(Gisis)	(125:256)w3	848,676	15Qm − 8Ok = 4T − Qm	mitteltönig doppelt übermäßige Quinte
(Ais*)-(ges*)	(Beses)	1024:625	854,745	−16Qm + 10Ok = 4T + 2Ok	mitteltönige doppelt verminderte Septime
(C)-(A)	(A)	(1:2)w3	889,735	3Qm − Ok = T − Qm + Ok	mitteltönige große Sexte
(Cis)-(B)	(Bes)	(64:125)w3	930,794	−9Qm + 6Ok = −2T − Qm + 2Ok	mitteltönig verminderte Septime
(Es)-(cis)	(Ais)	(25:32)w2	965,784	10Qm − 5Ok = 2T + 2Qm − Ok	mitteltönige übermäßige Sexte
(D)-(c)	(B)	(4:5)w2	1006,843	−2Qm + 2Ok	mitteltönige kleine Septime
(Gis)-(ges*)	(ceses)	(512:625)w2	1047,902	−14Qm + 9Ok = −4T + 2Qm + Ok	mitteltönig doppelt verminderte Oktave
(C)-(H)	(H)	(5:4)w	1082,892	5Qm − 2Ok = T + Qm	mitteltönige große Septime
(Cis)-(c)	(ces)	(32:25)w	1123,951	−7Qm + 5Ok = −2T + Qm + Ok	mitteltönig verminderte Oktave
(Es)-(dis*)	(his)	125:64	1158,941	12Qm − 6Ok = 3T	übermäßige Septime
(C)-(c)	(c)	2:1	1200	Ok	Oktave

Intervalle der reinen Stimmung

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der reinen Stimmung auftreten können. Ausgehend von der chromatischen Tonleiter C ’Des D ’Es,E F,Fis G ’As,A ’B,H C wird berechnet jedes der Intervalle: C-,Cis / C-’Des / C-D / C-,,Dis / C-’Es / C-,E / … / ,Cis-,,Dis /,Cis-’Es /,Cis-,E /,Cis-F /,Cis-,Fis / … / D-,,Dis / D-’Es / D-,E / … (Bezeichnungen siehe Eulersches Tonnetz: »Tiefkomma x« mit der Bezeichnung »,x« bedeutet »,x« ist ein syntonisches Komma tiefer als »x«. »Hochkomma x« mit der Bezeichnung »’x« ist ein syntonisches Komma höher als »x«. Die reine C-Dur-Tonleiter schreibt sich als »C D ,E F G ,A ,H c«. Die reine c-Moll-Tonleiter schreibt sich als »C D ’Es F G ’As ’B c«). Die Intervalle wurden dann der Größe nach (in Cent) geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Intervallreferenz ist C-Dur und c-Moll mit den reinen Akkorden C-,E-G / C-’Es-G / F-,A-c / F-’As-c / G-,H-D und G-’B-d / ergänzt um weitere Zwischentöne mit den diatonischen Halbtonschritten (Frequenzverhältnis 16/15) C-’Des /,Cis-D / ,,Dis-,E / F-’Ges /,Fis-G / ,,Gis-,A und ,,Ais-,H.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der drei Grundintervalle des Quint-Terz-Systems darstellbar.

• Ok = Oktave
• Q = Quinte und
• T = große Terz.

Die jeweilige Berechnung erscheint in der 5. Spalte.

Intervall	von C aus bis	Frequenzverhältnis	in Cent	Berechnung	Intervallbezeichnung
Des-,Cis	,His	32805:32768	1,954	T + 8Q − 5Ok	kleine übermäßige Septime − Oktave, Schisma
,Cis-’Des	’’Deses	2048:2025	19,553	−2T − 4Q + 3Ok	(kleinere) verminderte Sekunde, Diaschisma
,,Dis-’Es	’’’Deses	128:125	41,059	−3T + Ok	(größere) verminderte Sekunde, kleine Diësis
D-,,Dis	,,Cis	25:24	70,672	2T − Q	(kleinere) übermäßige Prim, kleiner chromatischer Halbton, kleines Chroma
C-,Cis	,Cis	135:128	92,179	T + 3Q − 2Ok	(größere) übermäßige Prim, großer chromatischer Halbton, großes Chroma
,E-F	’Des	16:15	111,731	−T − Q + Ok	kleine Sekunde, diatonischer Halbton
,A-’B	’’Des	27:25	133,238	−2T + 3Q − Ok	(größere) kleine Sekunde, großes Limma,
’Des-,,Dis	,,,Cisis	1125:1024	162,851	3T + 2Q − 2Ok	doppelt übermäßige Prim
D-,E	,D	10:9	182,404	T − 2Q + Ok	kleiner Ganzton (kleinere Große Sekunde)
C-D	D	9:8	203,910	2Q − Ok	großer Ganzton = pythagoreischer Ganzton (größere große Sekunde)
,E-’Ges	’’Eses	256:225	223,463	−2T − 2Q + 2Ok	(kleinere) verminderte Terz
,,Gis-’B	’’’Eses	144:125	244,969	−3T + 2Q	(größere) verminderte Terz
C-,,Dis	,,Dis	75:64	274,582	2T + Q − Ok	übermäßige Sekunde
D-F	Es	32:27	294,135	−3Q + 2Ok	pythagoreische kleine Terz (unreine kleine Terz der II. Stufe)
C-’Es	’Es	6:5	315,641	−T + Q	kleine Terz
,,Dis-’Ges	’’’Feses	4096:3375	335,194	−3T − 3Q + 3Ok	doppelt verminderte Quarte
’Ges-,,Ais	,,,Disis	10125:8192	366,761	3T + 4Q − 3Ok	doppelt übermäßige Sekunde
C-,E	,E	5:4	386,314	T	große Terz
D-’Ges	’Fes	512:405	405,866	−T − 4Q + 3Ok	(kleinere) verminderte Quarte
,A-,cis	E	81:64	407,820	4Q − 2Ok	pythagoreisch große Terz = Ditonos
,E-’As	’’Fes	32:25	427,373	−2T + Ok	verminderte Quarte
’Es-,,Gis	,,,Eis	125:96	456,986	3T − Q	(kleinere) übermäßige Terz
F-,,Ais	,,Eis	675:512	478,492	2T + 3Q − 2Ok	(größere) übermäßige Terz
C-F	F	4:3	498,045	−Q + Ok	Quarte
,Cis-’Ges	’’Geses	8192:6075	517,598	−2T − 5Q + 4Ok	doppelt verminderte Quinte
,A-d	’F	27:20	519,551	−T + 3Q − Ok	unreine Quarte (In C-Dur II. Stufe a-d)
,,Dis-’As	’’’Geses	512:375	539,104	−3T − Q + 2Ok	doppelt verminderte Quinte
D-,,Gis	,,Fis	25:18	568,717	2T − 2Q + Ok	(kleinere) übermäßige Quarte
’Ges-,cis	,,Fisis	6075:4096	682,402	2T + 5Q − 3Ok	doppelt verminderte Quarte
C-,Fis	,Fis	45:32	590,224	T + 2Q − Ok	Tritonus, übermäßige Quarte
,Fis-c	’Ges	64:45	609,776	−T − 2Q + 2Ok	(kleinere) verminderte Quinte
,A-’es	’’Ges	36:25	631,283	−2T + 2Q	(größere) verminderte Quinte
’Es-,,Ais	,,,Fisis	375:256	660,896	3T + Q − Ok	doppelt übermäßige Quarte
D-,A	,G	40:27	680,449	T − 3Q + 2Ok	unreine Quinte (In C-Dur d-a des Akkords der II.Stufe)
C-G	G	3:2	701,955	Q	Quinte
,H-’ges	’’Asas	1024:675	721,508	−2T − 3Q + 3Ok	(kleinere) verminderte Sexte
,,Dis-’B	’’’Asas	192:125	743,014	−3T + Q + Ok	(größere) verminderte Sexte
C-,,Gis	,,Gis	25:16	772,627	2T	kleine übermäßige Quinte, Doppelterz
,Cis-,A	As	128:81	792,180	−4Q + 3Ok	pythagoreische kleine Sexte
F-,cis	,Gis	405:256	794,134	T + 4Q − 2Ok	(größere) übermäßige Quinte
,E-c	’As	8:5	813,686	−T + Ok	kleine Sexte
,,Ais-’ges	’’’Beses	16384:10125	833,239	−3T − 4Q + 4Ok	doppelt verminderte Septime
’Des-,,Ais	,,,Gisis	3375:2048	864,806	3T + 3Q − 2Ok	doppelt übermäßige Quinte
C-,A	,A	5:3	884,359	T − Q + Ok	große Sexte
F-d	A	27:16	905,865	3Q − Ok	pyth. große Sexte (im II. Akkord)
,E-’des	’’Bes	128:75	925,418	−2T − Q + 2Ok	(größere) verminderte Septime
’B-,,gis	,,,Ais	125:72	955,031	3T − 2Q + Ok	(kleinere) übermäßige Sexte
C-,,Ais	,,Ais	225:128	976,537	2T + 2Q − Ok	(größere) übermäßige Sexte
D-c	B	16:9	996,090	−2Q + 2Ok	kleinere kleine Septime (= Oktave − großer Ganzton)
C-’B	’B	9:5	1017,596	−T + 2Q	größere kleine Septime (= Oktave − kleiner Ganzton)
,,Dis-’des	’’’ceses	2048:1125	1037,149	−3T − 2Q + 3Ok	doppelt verminderte Oktave
’B-,,ais	,,,his	125:64	1158,941	3T	übermäßige Septime
’B-,a	,,H	50:27	1066,762	2T − 3Q + 2Ok	(kleinere) große Septime
C-,H	,H	15:8	1088,269	T + Q	große Septime
,Cis-c	’ces	256:135	1107,821	−T − 3Q + 3Ok	(kleinere) verm. Oktave
,,Dis-d	’’ces	48:25	1129,328	−2T + Q + Ok	(größere) verminderte Oktave
’Des-,cis	,,his	2025:1024	1180,447	2T + 4Q − 2Ok	(größere) überm. Septime
C-c	c	2:1	1200	Ok	Oktave

Intervalle nach Größe geordnet

Bezeichnungen:

C-Cis-Des*-D-Dis*-Es-E… Pythagoreische Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte, aufbauend auf reinen Quinten.

(C)-(Cis)-(Des*)-(D)-(Dis*)-(Es)-(E)-(F)-… ¼-Komma-mitteltönige Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte, aufbauend auf mitteltönigen Quinten (696,578 Cent).

C-,Cis-’Des-D-,,Dis-’Es-,E … Reine Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte (Bezeichnungen siehe Eulersches Tonnetz: »Tiefkomma x« mit der Bezeichnung »,x« bedeutet »,x« ist ein syntonisches Komma tiefer als »x«. »Hochkomma x« mit der Bezeichnung »’x« ist ein syntonisches Komma höher als »x«).

• Ok = Oktave (Frequenzverhältnis 2)
• Q = Quinte (Frequenzverhältnis 3:2)
• Q_m = mitteltönige Quinte (Frequenzverhältnis ${\displaystyle w={\sqrt[{4}]{5}}\mathrel {\hat {\approx }} 696{,}578\,{\text{Cent}}}$)
• T = große Terz (Frequenzverhältnis 5:4).

Intervalle	von C aus bis	Frequenzverhältnis	in Cent	Berechnung	Intervallbezeichnung
C-C	C	1:1	0		Prim
	,His	32805:32768	1,954	8Q + T − 5Ok	Schisma = Differenz pythagoreisches und syntonisches Komma
'''Fes-,,,Eis	,,,,,,Hisis	15625:15552	8,107	6T-5Q+Ok	Kleisma
,Cis-’Des	’’Deses	2048:2025	19,553	−2T − 4Q + 3Ok	(kleinere) verminderte Sekunde, Diaschisma
	’C	81:80	21,506	4Q − T − 2Ok	syntonisches Komma: Differenz d(C-dur) und,d(F-dur)
Des*-Cis	His	531441:524288	23,460	12Q − 7Ok	pythagoreisches Komma
(Dis)-(Es) =,,Dis-’Es	(Deses) =’’’Deses	128:125	41,059	−12Qm + 7Ok = −3T + Ok	(in der reinen Stimmung: größere) verminderte Sekunde = kleine Diësis (Differenz von Oktave zu 3 großen Terzen).
	’’’’Deses	648:625	62,565	4Q − 4T − Ok	große Diësis = Differenz von vier kleinen Terzen zur Oktave
D-,,Dis	,,Cis	25:24	70,672	2T − Q	(kleinere) übermäßige Prim, kleiner chromatischer Halbton, kleines Chroma
(C)-(Cis)	(Cis)	(5:16)w3	76,049	7Qm − 4Ok	chromatischer mitteltöniger Halbton
E-F	Des	256:243	90,225	−5Q + 3Ok	pythagoreisches Limma = pythagoreische kleine Sekunde
C-,Cis	,Cis	135:128	92,179	T + 3Q − 2Ok	(größere) übermäßige Prim, großer chromatischer Halbton, großes Chroma
			100	(1:12)Ok	kleine gleichstufige Sekunde
,E-F	’Des	16:15	111,731	−T − Q + Ok	kleine Sekunde, diatonischer Halbton
C-Cis	Cis	2187:2048	113,685	7Q − 4Ok	pythagoreische Apotome = pythagoreische übermäßige Prim
(E)-(F)	(Des)	(8:25)w3	117,108	−5Qm + 3Ok	diatonischer mitteltöniger Halbton
,A-’B	’’Des	27:25	133,238	−2T + 3Q − Ok	(größere) kleine Sekunde, großes Limma,
(Des*)-(Dis*)	(Cisis)	(125:256)w2	152,098	14Qm − 8Ok	mitteltönige doppelt übermäßige Prim
’Des-,,Dis	,,,Cisis	1125:1024	162,851	3T + 2Q − 2Ok	doppelt übermäßige Prim
Cis-Es	Eses	65536:59049	180,450	−10Q + 6Ok	pythagoreische verminderte Terz
D-,E	,D	10:9	182,404	T − 2Q + Ok	kleiner Ganzton
(C)-(D)	(D)	(1:2)w2	193,157	2Qm − Ok	mitteltöniger Ganzton
			200	(2:12)Ok	große gleichstufige Sekunde
C-D	D	9:8	203,910	2Q − Ok	großer Ganzton = pythagoreische Sekunde
,E-’Ges	’’Eses	256:225	223,463	−2T − 2Q + 2Ok	(kleinere) verminderte Terz
Des*-Dis*	Cisis	4782969:4194304	227,370	14Q − 8Ok	pythagoreische doppelt übermäßige Prim
(Cis)-(Es)	(Eses)	(64:125)w2	234,216	−10Qm + 6Ok	mitteltönig verminderte Terz
,,Gis-’B	’’’Eses	144:125	244,969	−3T + 2Q	(größere) verminderte Terz
(Es)-(Fis)	(Dis)	(25:32)w	269,206	9Qm − 5Ok	mitteltönige übermäßige Sekunde
Dis*-Ges*	Feses	16777216:14348907	270,675	−15Q + 9Ok	pythagoreische doppelt verminderte Quarte
C-,,Dis	,,Dis	75:64	274,582	2T + Q − Ok	übermäßige Sekunde
D-F	Es	32:27	294,135	−3Q + 2Ok	pythagoreische kleine Terz (unreine kleine Terz der II. Stufe)
			300	(3:12)Ok	kleine gleichstufige Terz
(D)-(F)	(Es)	(4:5)w	310,265	−3Qm + 2Ok	mitteltönige kleine Terz
C-’Es	’Es	6:5	315,641	−T + Q	kleine Terz
Es-Fis	Dis	19683:16384	317,595	9Q − 5Ok	pythagoreische übermäßige Sekunde
,,Dis-’Ges	’’’Feses	4096:3375	335,194	−3T − 3Q + 3Ok	doppelt verminderte Quarte
(Ges*)-(Ais*)	(Disis)	625:512	345,255	16Qm − 9Ok = 4T − Ok	mitteltönig doppelt übermäßige Sekunde. (Disis) = ,,,,Disis.
(Dis*)-(Ges*)	(Feses)	(512:625)w	351,324	−15Qm + 9Ok	mitteltönig doppelt verminderte Quarte
’Ges-,,Ais	,,,Disis	10125:8192	366,761	3T + 4Q − 3Ok	doppelt übermäßige Sekunde
Cis-F	Fes	8192:6561	384,360	−8Q + 5Ok	pythagoreische verminderte Quarte
(C)-(E) =C-,E	(E) =,E	5:4	386,314	4Qm − 2Ok = T	große Terz
			400	(4:12)Ok	große gleichstufige Terz
D-’Ges	’Fes	512:405	405,866	−T − 4Q + 3Ok	(kleinere) verminderte Quarte
,A-,cis	E	81:64	407,820	4Q − 2Ok	pythagoreisch große Terz = Ditonos
(Cis)-(F) =,E-’As	(Fes) =’’Fes	32:25	427,373	−8Qm + 5Ok = Ok − 2T	verminderte Quarte
Ges*-Ais*	Disis	43046721:33554432	431,280	16Q − 9Ok	pythagoreische doppelt übermäßige Sekunde
’Es-,,Gis	,,,Eis	125:96	456,986	3T − Q	(kleinere) übermäßige Terz
(Es)-(Gis)	(Eis)	(25:64)w3	462,363	11Qm − 6Ok	mitteltönig übermäßige Terz
Cis-Ges*	Geses	2097152:1594323	474,585	−13Q + 8Ok	pythagoreische doppelt verminderte Quinte
F-,,Ais	,,Eis	675:512	478,492	2T + 3Q − 2Ok	(größere) übermäßige Terz
C-F	F	4:3	498,045	−Q + Ok	Quarte
			500	(5:12)Ok	gleichstufige Quarte
(C)-(F)	(F)	(2:5)w3	503,422	−Qm + Ok	mitteltönige Quarte
,Cis-’Ges	’’Geses	8192:6075	517,598	−2T − 5Q + 4Ok	doppelt verminderte Quinte
,A-d	’F	27:20	519,551	−T + 3Q − Ok	unreine Quarte (In C-Dur II. Stufe a-d)
Es-Gis	Eis	177147:131072	521,505	11Q − 6Ok	pythagoreische übermäßige Terz
,,Dis-’As	’’’Geses	512:375	539,104	−3T − Q + 2Ok	doppelt verminderte Quinte
(Cis)-(Ges*)	(Geses)	(256:625)w3	544,480	−13Qm + 8Ok	mitteltönig doppelt verminderte Quinte
		11:8	551,318		Nur zur Ergänzung: Das Alphorn-Fa (der 11. Naturton)
D-,,Gis	,,Fis	25:18	568,717	2T − 2Q + Ok	(kleinere) übermäßige Quarte
(F)-(H)	(Fis)	(5:8)w2	579,471	6Qm − 3Ok	mitteltönige übermäßige Quarte, mitteltöniger Tritonus
E-B	Ges	1024:729	588,270	−6Q + 4Ok	pythagoreische verminderte Quinte
C-,Fis	,Fis	45:32	590,224	T + 2Q − Ok	Tritonus, übermäßige Quarte
			600	(6:12)Ok	gleichstufiger Tritonus, übermäßige gleichstufige Quarte, verminderte gleichstufige Quinte
,Fis-c	’Ges	64:45	609,776	−T − 2Q + 2Ok	(kleinere) verminderte Quinte
C-Fis	Fis	729:512	611,730	6Q − 3Ok	pythagoreische übermäßige Quarte = pythagoreischer Tritonus
(Cis)-(G)	(Ges)	(16:25)w2	620,529	−6Qm + 4Ok	mitteltönige verminderte Quinte
,A-’es	’’Ges	36:25	631,283	−2T + 2Q	(größere) verminderte Quinte
(Des*)-(Gis)	(Fisis)	(125:128)w	655,520	13Qm − 7Ok	mitteltönig doppelt übermäßige Quarte
’Es-,,Ais	,,,Fisis	375:256	660,896	3T + Q − Ok	doppelt übermäßige Quarte
Gis-es	Asas	262144:177147	678,495	−11Q + 7Ok	pythagoreische verminderte Sexte
D-,A	,G	40:27	680,449	T − 3Q + 2Ok	unreine Quinte (In C-Dur d-a des Akkords der II.Stufe)
’Ges-,cis	,,Fisis	6075:4096	682,402	2T + 5Q − 3Ok	doppelt verminderte Quarte
(C)-(G)	(G)	w	696,578	Qm	mitteltönige Quinte
			700	(7:12)Ok	gleichstufige Quinte
C-G	G	3:2	701,955	Q	Quinte
,H-’ges	’’Asas	1024:675	721,508	−2T − 3Q + 3Ok	(kleinere) verminderte Sexte
Es-Ais*	Fisis	1594323:1048576	725,415	13Q − 7Ok	pythagoreische doppelt übermäßige Quarte
(Gis)-(es)	(Asas)	(128:125)w	737,637	−11Qm + 7Ok	mitteltönig verminderte Sexte
,,Dis-’B	’’’Asas	192:125	743,014	−3T + Q + Ok	(größere) verminderte Sexte
Ais*-ges*	Beses	67108864:43046721	768,720	−16Q + 10Ok	pythagoreische doppelt verminderte Septime
(C)-(Gis) =C-,,Gis	(Gis) =,,Gis	25:16	772,627	8Qm − 4Ok = 2T	(In der Reinen Stimmung kleinere) übermäßige Quinte, Doppelterz
E-c	As	128:81	792,180	−4Q + 3Ok	pythagoreische kleine Sexte
F-,cis	,Gis	405:256	794,134	T + 4Q − 2Ok	(größere) übermäßige Quinte
			800	(8:12)Ok	kleine gleichstufige Sexte
,E-c	’As	8:5	813,686	−T + Ok	kleine Sexte
C-Gis	Gis	6561:4096	815,640	8Q − 4Ok	pythagoreische übermäßige Quinte
,,Ais-’ges	’’’Beses	16384:10125	833,239	−3T − 4Q + 4Ok	doppelt verminderte Septime
(Des*)-(Ais*)	(Gisis)	(125:256)w3	848,676	15Qm − 8Ok	mitteltönige doppelt übermäßige Quinte
(Ais*)-(ges*)	(Beses)	1024:625	854,745	−16Qm + 10Ok = −4T + 2Ok	mitteltönige doppelt verminderte Septime. (Beses) = ’’’’Beses.
’Des-,,Ais	,,,Gisis	3375:2048	864,806	3T + 3Q − 2Ok	doppelt übermäßige Quinte
Cis-B	Bes	32768:19683	882,405	−9Q + 6Ok	pythagoreische verminderte Septime
C-,A	,A	5:3	884,359	T − Q + Ok	große Sexte
(C)-(A)	(A)	(1:2)w3	889,735	3Qm − Ok	mitteltönige große Sexte
			900	(9:12)Ok	große gleichstufige Sexte
C-A	A	27:16	905,865	3Q − Ok	pythagoreische große Sexte
,E-’des	’’Bes	128:75	925,418	−2T − Q + 2Ok	(größere) verminderte Septime
Des*-Ais*	Gisis	14348907:8388608	929,325	15Q − 8Ok	pythagoreische doppelt übermäßige Quinte
(Cis)-(B)	(Bes)	(64:125)w3	930,794	−9Qm + 6Ok	mitteltönige verminderte Septime
’B-,,gis	,,,Ais	125:72	955,031	3T − 2Q + Ok	(kleinere) übermäßige Sexte
(Es)-(cis)	(Ais)	(25:32)w2	965,784	10Qm − 5Ok	mitteltönige übermäßige Sexte
		7:4	968,826	i	Nur zur Ergänzung: Die Naturseptime, der 7. Naturton, manchmal mit i bezeichnet.
Dis*-des*	Ceses	8388608:4782969	972,630	−14Q + 9Ok	pythagoreische doppelt verminderte Oktave
C-,,Ais	,,Ais	225:128	976,537	2T + 2Q − Ok	(größere) übermäßige Sexte
D-c	B	16:9	996,090	−2Q + 2Ok	pythagoreische kleine Septime
			1000	(10:12)Ok	kleine gleichstufige Septime
(D)-(c)	(B)	(4:5)w2	1006,843	−2Qm + 2Ok	mitteltönige kleine Septime
C-’B	’B	9:5	1017,596	−T + 2Q	kleine Septime
Es-cis	Ais	59049:32768	1019,550	10Q − 5Ok	pythagoreische übermäßige Sexte
,,Dis-’des	’’’ceses	2048:1125	1037,149	−3T − 2Q + 3Ok	doppelt verminderte Oktave
(Gis)-(ges*)	(ceses)	(512:625)w2	1047,902	−14Qm + 9Ok	mitteltönige doppelt verminderte Oktave
’B-,a	,,H	50:27	1066,762	2T − 3Q + 2Ok	(kleinere) große Septime
(C)-(H)	(H)	(5:4)w	1082,892	5Qm − 2Ok	mitteltönige große Septime
Cis-c	Ces	4096:2187	1086,315	−7Q + 5Ok	pythagoreische verminderte Oktave
C-,H	,H	15:8	1088,269	T + Q	große Septime
			1100	(11:12)Ok	große gleichstufige Septime
,Cis-c	’ces	256:135	1107,821	−T − 3Q + 3Ok	(kleinere) verminderte Oktave
C-H	H	243:128	1109,775	5Q − 2Ok	pythagoreische große Septime
(Cis)-(c)	(ces)	(32:25)w	1123,951	−7Qm + 5Ok	mitteltönige verminderte Oktave
,,Dis-d	’’ces	48:25	1129,328	−2T + Q + Ok	(größere) verminderte Oktave
(Es)-(dis*) =’B-,,ais	(his) =,,,his	125:64	1158,941	12Qm − 6Ok = 3T	übermäßige Septime
Cis-des*	deses	1048576:531441	1176,540	−12Q + 8Ok	pythagoreische verminderte None (= Ok − pythagoreische verminderte Sek.)
’Des-,cis	,,his	2025:1024	1180,447	2T + 4Q − 2Ok	(größere) übermäßige Septime
C-c		2:1	1200	Ok	Oktave

Weblinks

• Auflistung aller pythagoreischen, mitteltönigen und reinen Intervalle von C-Cis bis h-c