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Tschebyschow-Funktion

mathematische Funktion Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

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Die Tschebyschow-Funktion, etwa im Englischen auch Chebyshev-Funktion oder ähnlich bezeichnet, ist eine von zwei zahlentheoretischen Funktionen, die nach dem russischen Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow benannt sind. Sie erhalten durch ihren Zusammenhang mit der Primzahlzählfunktion und dem Primzahlsatz und damit der Riemannschen Zeta-Funktion an Bedeutung.

Die erste Tschebyschow-Funktion, üblicherweise mit oder bezeichnet, ist die Summe der Logarithmen der Primzahlen bis :

Die zweite Tschebyschow-Funktion ist die summierte Funktion der Mangoldt-Funktion:

wobei die Mangoldt-Funktion definiert ist als

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Grundlegende Eigenschaften

Zusammenfassung
Kontext

Erstere Tschebyschow-Funktion lässt sich auch darstellen als

wobei die Primfakultät bezeichnet.

Die zweite lässt sich auch schreiben als der Logarithmus des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 1 bis :

Nach Erhard Schmidt gibt es für jedes positive reelle Werte für , sodass

und

unendlich oft.

Asymptotik

Es gilt

d. h.

Ebenso gilt

Pierre Dusart fand eine Reihe von Schranken für die beiden Funktionen:[1]

Verwandtschaft der beiden Funktionen

Es gilt

wobei ganz und dann durch und eindeutig bestimmt ist.

Ein direkterer Zusammenhang entsteht durch

Man bemerke, dass für

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Die „exakte Formel“

Zusammenfassung
Kontext

1895 bewies Hans Karl Friedrich von Mangoldt folgende Formel, die im Englischen auch als „explicit formula“ bezeichnet wird:[2]

Dabei ist und nicht prim oder eine Primzahlpotenz und die Summe läuft über alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion .

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Referenzen

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