Vollständig positiver Operator

Vollständig positive Operatoren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um positive, lineare Operatoren zwischen C*-Algebren, bei denen die Fortsetzungen auf die Matrixalgebren ebenfalls positiv sind.

Definitionen

Eine stetige, lineare Abbildung ${\displaystyle P:A\rightarrow B}$ zwischen zwei C*-Algebren ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ heißt positiv, falls ${\displaystyle P}$ positive Elemente auf positive Elemente abbildet, das heißt, falls ${\displaystyle P(a^{*}a)}$ für jedes ${\displaystyle a\in A}$ die Form ${\displaystyle b^{*}b}$ für ein ${\displaystyle b\in B}$ hat.

Für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ sei ${\displaystyle M_{n}(A)}$ die C*-Algebra der ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen über ${\displaystyle A}$. Diese ist isomorph zum Tensorprodukt aus ${\displaystyle A}$ und der C*-Algebra ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$ der komplexen ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen. Die Abbildung ${\displaystyle P:A\rightarrow B}$ definiert Abbildungen

${\displaystyle P_{n}=P\otimes \mathrm {id} _{M_{n}(\mathbb {C} )}\,:M_{n}(A)\rightarrow M_{n}(B),\quad P_{n}((a_{i,j})_{i,j=1,\ldots n}):=(P(a_{i,j}))_{i,j=1,\ldots n}}$.

${\displaystyle P}$ heißt ${\displaystyle n}$-positiv, falls ${\displaystyle P_{n}}$ positiv ist. ${\displaystyle P}$ heißt vollständig positiv, falls ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$-positiv ist für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Beispiele

Jeder positive, lineare Operator auf einer kommutativen C*-Algebra ist vollständig positiv.^[1]

Jeder Zustand auf einer C*-Algebra ist vollständig positiv. Allgemeiner ist jeder positive Operator von einer C*-Algebra in eine kommutative C*-Algebra vollständig positiv.^[2]

Alle *-Homomorphismen sind vollständig positiv. Ist allgemeiner ${\displaystyle \pi :A\rightarrow B}$ ein *-Homomorphismus und ${\displaystyle b\in B}$, so definiert ${\displaystyle P(a):=b^{*}\pi (a)b}$ einen vollständig positiven Operator. Nach dem Satz von Stinespring gilt für vollständig positive Operatoren mit Norm kleiner gleich 1 die Umkehrung.

Die Transposition ${\displaystyle P}$ auf der C*-Algebra ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )}$ ist ein positiver Operator, der nicht vollständig positiv ist. Beispielsweise ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\end{pmatrix}}\in M_{4}(\mathbb {C} )=M_{2}(M_{2}(\mathbb {C} ))}$

ein positives Element, aber

${\displaystyle P_{2}{\big (}{\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\end{pmatrix}}{\big )}={\begin{pmatrix}P({\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}})&P({\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}})\\P({\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}})&P({\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

ist nicht positiv, denn die Determinante ist gleich −1. Daher ist ${\displaystyle P}$ nicht 2-positiv.

Eigenschaften und Anwendungen

Kadison-Schwarz-Ungleichung

Es sei ${\displaystyle P:A\rightarrow B}$ eine 2-positive, lineare Abbildung zwischen C*-Algebren mit Einselement und es sei ${\displaystyle P(1)=1}$. Dann gilt die schwarzsche Ungleichung^[3]

${\displaystyle P(a)^{*}P(a)\leq P(a^{*}a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$.

Allgemeiner gilt für eine vollständig positive Abbildung

${\displaystyle P(a)^{*}P(a)\leq \|P\|P(a^{*}a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$,

was auch als Kadison-Schwarz-Ungleichung bekannt ist.^[4] Ist ${\displaystyle P}$ nur positiv, so gilt obige Ungleichung nur für normale Elemente.

Nukleare C*-Algebren

Nukleare C*-Algebren lassen sich wie folgt mittels vollständig positiver Operatoren charakterisieren: Eine C*-Algebra ${\displaystyle A}$ ist genau dann nuklear, wenn die Identität ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}}$ punktweiser Normlimes vollständig positiver, 1-beschränkter Operatoren endlichen Ranges ist, das heißt, es gibt ein Netz ${\displaystyle (P_{i})_{i\in I}}$ vollständig positiver Operatoren mit ${\displaystyle \mathrm {dim} P_{i}(A)<\infty }$ und ${\displaystyle \|P_{i}\|\leq 1}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$ und ${\displaystyle \textstyle \lim _{i\in I}\|P_{i}(a)-a\|=0}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$.^[5]

Liftungssatz von Choi-Effros

Es gilt folgende auch als Liftungssatz von Choi-Effros bekannte Aussage: Sei ${\displaystyle A}$ eine nukleare C*-Algebra und ${\displaystyle P:A\rightarrow B/J}$ ein vollständig positiver Operator mit ${\displaystyle \|P\|\leq 1}$ in die Quotientenalgebra der C*-Algebra ${\displaystyle B}$ nach dem abgeschlossenen, zweiseitigen Ideal ${\displaystyle J}$. Dann gibt es einen vollständig positiven Operator ${\displaystyle Q:A\rightarrow B}$ mit ${\displaystyle \|Q\|\leq 1}$ und ${\displaystyle P=\pi \circ Q}$, wobei ${\displaystyle \pi :B\rightarrow B/J}$ die Quotientenabbildung sei.^[6]