Έλλειψη (γεωμετρία)

Η έλλειψη είναι η κωνική τομή που προκύπτει από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο που τον τέμνει πλαγίως ως προς τον άξονά του.

Μια έλλειψη ως τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο.

Σχήμα έλλειψης με τα βασικά της στοιχεία:

• ${\displaystyle {\rm {E_{1}}}}$, ${\displaystyle {\rm {E_{2}}}}$: εστίες έλλειψης
• ${\displaystyle {\rm {B\Delta }}}$: μεγάλος άξονας
• ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}$: μικρός άξονας
• ${\displaystyle \alpha }$: μεγάλος ημιάξονας
• ${\displaystyle \beta }$: μικρός ημιάξονας
• ${\displaystyle \gamma }$: εστιακή απόσταση
• ${\displaystyle {\rm {O}}}$: το κέντρο έλλειψης (η τομή των δύο αξόνων ή το μέσον ${\displaystyle {\rm {E_{1}E_{2}}}}$).

Ισοδύναμα μία έλλειψη μπορεί να οριστεί ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία ${\displaystyle {\rm {E_{1}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {E_{2}}}}$, τα οποία απκαλούνται οι εστίες της έλλειψης.

Ο κύκλος είναι η ειδική περίπτωση όπου το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονά του κώνου, ή αντίστοιχα οι εστίες ${\displaystyle {\rm {E_{1}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {E_{2}}}}$ συμπίπτουν.

Αυστηρός ορισμός

Έστω ${\displaystyle {\rm {E_{1}}}}$, ${\displaystyle {\rm {E_{2}}}}$ δύο σημεία σε ένα ευκλείδειο επίπεδο με απόσταση ${\displaystyle {\rm {E_{1}E_{2}}}=2\gamma }$ μεταξύ τους και ${\displaystyle \alpha >\gamma }$ ένας θετικός αριθμός. Έλλειψη ονομάζεται το σύνολο των σημείων ${\displaystyle \Sigma }$ επιπέδου για τα οποία

${\displaystyle {\rm {\Sigma E_{1}}}+{\rm {\Sigma E_{2}}}=2\alpha }$.

Βασικές έννοιες

• Τα σημεία ${\displaystyle {\rm {E_{1},E_{2}}}}$ ονομάζονται εστίες της έλλειψης.
• Το μέσο ${\displaystyle {\rm {O}}}$. του ευθύγραμμου τμήματος ${\displaystyle {\rm {E_{1}E_{2}}}}$ ονομάζεται κέντρο της έλλειψης, και αποτελεί κέντρο συμμετρίας αυτής.
• Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει ως άκρα δύο διαφορετικά σημεία της έλλειψης και διέρχεται από το κέντρο αυτής ονομάζεται διάμετρος της έλλειψης.
• Μία έλλειψη (που δεν είναι κύκλος) έχει δύο άξονες συμμετρίας, οι οποίοι είναι η μικρότερη και η μεγαλύτερη διάμετρός της. Αυτές ονομάζονται μικρός και μεγάλος άξονας αντίστοιχα.
• Έστω ${\displaystyle \gamma ={\rm {E_{1}O}}={\rm {E_{2}O}}}$ και ${\displaystyle \alpha ={\rm {\Delta O}}={\rm {BO}}}$. Ο λόγος ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {\gamma }{\alpha }}}$ είναι η εκκεντρότητα ή εκκεντρότης της έλλειψης.
  • Η εκκεντρότητα της έλλειψης, δηλώνει πόσο στενή 'η πλατιά είναι η έλλειψη.
  • Για ${\displaystyle \varepsilon =0}$ έχουμε κύκλο, ενώ για ${\displaystyle \varepsilon }$ κοντά στο ${\displaystyle 1}$ μία μακρόστενη έλλειψη.

Ιδιότητες

• Ο μεγάλος άξονας της έλλειψης έχει μήκος ${\displaystyle 2\alpha }$.

Απόδειξη

Έστω ${\displaystyle {\rm {B\Delta }}}$ ο μεγάλος άξονας της έλλειψης. Τότε καθώς το ${\displaystyle {\rm {B}}}$ είναι σημείο της έλλειψης έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {BE_{1}}}+{\rm {BE_{2}}}=2\alpha }$. Λόγω συμμετρίας έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {BE_{2}}}={\rm {\Delta E_{1}}}}$ και έτσι καταλήγουμε ότι ${\displaystyle {\rm {B\Delta }}={\rm {BE_{1}}}+{\rm {E_{1}\Delta }}={\rm {BE_{1}}}+{\rm {BE_{2}}}=2\alpha }$.

• Ο μικρός άξονας έχει μήκος ${\displaystyle 2\beta }$, όπου ${\displaystyle \beta ^{2}=\alpha ^{2}-\gamma ^{2}}$.

Απόδειξη

Αυτό προκύπτει από το πυθαγόρειο θεώρημα, αν θεωρήσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {E_{1}AO}}}$ (βλ. σχήμα).

• H εκκεντρότητα ${\displaystyle \varepsilon }$ ικανοποιεί την ανισότητα ${\displaystyle 0\leq \varepsilon \leq 1}$.

Εξισώσεις της έλλειψης

Κανονική μορφή

Μία έλλειψη θεωρείται στην κανονική της μορφή, όταν το κέντρο της είναι στο ${\displaystyle (0,0)}$ του συστήματος συντεταγμένων και οι άξονές της συμπίπτουν με τους άξονες ${\displaystyle {\rm {xx'}}}$ και ${\displaystyle {\rm {yy'}}}$.

Σε καρτεσιανές συντεταγμένες η έλλειψη είναι το σύνολο των σημείων ${\displaystyle (x,y)}$ που ικανοποιούν την εξίσωση

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1}$

όπου ${\displaystyle \,\beta ^{2}=\alpha ^{2}-\gamma ^{2}}$.

Οι παραμετρικές εξισώσεις της έλλειψης είανι

${\displaystyle x=\alpha \cos t,\quad y=\beta \sin t}$,

με παράμετρο το ${\displaystyle t,\;0\leq t<2\pi }$.

Η εξίσωση της έλλειψης σε πολικές συντεταγμένες είναι:

${\displaystyle \rho ={\frac {\alpha ^{2}-\gamma ^{2}}{\alpha -\gamma \cos \phi }}}$.

Γενική μορφή

Έστω μία κωνική τομή

${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0.}$

Η καμπύλη αυτή είναι έλλειψη, αν ${\displaystyle 4ac-b^{2}>0}$. Για ${\displaystyle b=0}$ έχουμε παράλληλη μετατόπιση, ενώ για ${\displaystyle b\neq 0}$ έχουμε και στροφή.

Πολικές ευθείες της έλλειψης

Έστω μία έλλειψη (στην κανονική της μορφή) και ένα σημείο ${\displaystyle {\rm {P}}=(p_{1},p_{2})\neq (0,0)}$ του επιπέδου. Η ευθεία με εξίσωση

${\displaystyle {\frac {p_{1}x}{\alpha ^{2}}}+{\frac {p_{2}y}{\beta ^{2}}}=1}$

ονομάζεται πολική ευθεία του ${\displaystyle {\rm {P}}}$. Το ${\displaystyle {\rm {P}}}$ ονομάζεται πόλος της ευθείας.

• Αν το ${\displaystyle {\rm {P}}}$ είναι ένα σημείο της έλλειψης, τότε η πολική του είναι η εφαπτομένη της έλλειψης στο ${\displaystyle {\rm {P}}}$.

• Έστω ${\displaystyle {\rm {P}}}$ ένα εξωτερικό σημείο της έλλειψης. Τότε από αυτό διέρχονται δύο εφαπτομένες της έλλειψης. Η πολική ευθεία του ${\displaystyle {\rm {P}}}$ είναι η ευθεία που συνδέει τα δυο σημεία επαφής της έλλειψης με τις εφαπτομένες αυτές.

• Έστω ${\displaystyle {\rm {P}}}$ ένα εσωτερικό σημείο της έλλειψης διάφορο του κέντρου της. Τότε η πολική του ευθεία δεν τέμνει την έλλειψη.

Αντιστρόφως σε κάθε ευθεία του επιπέδου που δεν διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης αντιστοιχεί ένας πόλος.

Ιδιότητες

Ανακλαστική ιδιότητα εστιών

Έστω ένα σημείο της έλλειψης ${\displaystyle {\rm {P}}}$. Φέρουμε την εφαπτόμενη σε αυτό το σημείο και την κάθετη αυτής. Η κάθετη διχοτομεί την γωνία ${\displaystyle {\rm {E_{1}PE_{2}}}}$. Αυτό έχει την εξής συνέπεια: Αν θεωρήσουμε την εστία ${\displaystyle E_{1}}$ ως πηγή φωτεινής ακτινοβολίας, τότε η φωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από την ${\displaystyle {\rm {E_{1}}}}$ και αντανακλάται στην έλλειψη διέρχεται από την ${\displaystyle {\rm {E_{2}}}}$.

Ορθή προβολή κύκλου

Έστω ένας κύκλος με ακτίνα ${\displaystyle \alpha }$ σε ένα επίπεδο στον τρισδιάστατο χώρο. Θεωρούμε ένα δεύτερο επίπεδο που τέμνει το πρώτο με μία γωνία ${\displaystyle \phi \in (0,2\pi )}$ και διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. Η ορθή προβολή του κύκλου στο δεύτερο επίπεδο αποτελεί έλλειψη με άξονες μήκους ${\displaystyle 2\alpha }$ και ${\displaystyle 2\alpha \cos \phi }$.

Κάθε έλλειψη μπορεί να εκφραστεί ως ορθή προβολή κύκλου.

Συζυγείς διάμετροι

Έστω μία έλλειψη και ένας κύκλος του οποίου η ορθή προβολή είναι η έλλειψη αυτή. Δύο διάμετροι της έλλειψης ονομάζονται συζυγείς, όταν αποτελούν ορθή προβολή δύο κάθετων διαμέτρων του κύκλου.

Μία διάμετρος έλλειψης διέρχεται από τα μέσα όλων των χορδών που είναι παράλληλες με τη συζυγή της.

Χαρακτηριστικά μεγέθη

Το εμβαδό της έλλειψης ισούται με

${\displaystyle {\rm {E}}=\pi \alpha \beta }$.

Η περίμετρος της έλλειψης ισούται με

${\displaystyle {\rm {\Pi }}=4\alpha \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}(\cos t)^{2}}}\ dt}$.

Το ολοκλήρωμα που εμφανίζεται είναι ένα ελλειπτικό ολοκλήρωμα και δεν μπορεί να εκφραστεί με τη βοήθεια αρχικής συνάρτησης.

Δείτε επίσης

• Κύκλος
• Παραβολή
• Υπερβολή

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Λεξιλογικός ορισμός του έλλειψη στο Βικιλεξικό
• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Ellipses στο Wikimedia Commons