Χορδή (γεωμετρία)

Στην γεωμετρία, χορδή είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου.^[1]:34[2]:49

Το κόκκινο ευθύγραμμο τμήμα ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ είναι μια χορδή του κύκλου.

Ιδιότητες

• Σε ίσα τόξα ενός κύκλου αντιστοιχούν ίσες χορδές και αντίστροφα.

Απόδειξη

Σε ίσα τόξα αντιστοιχούν ίσες χορδές (${\displaystyle \Rightarrow }$) Έστω ένας κύκλος ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$ και ${\displaystyle {\overset {\frown }{\rm {AB}}}}$, ${\displaystyle {\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}}$ δύο ίσα του τόξα. Θεωρούμε τις ακτίνες ${\displaystyle {\rm {OA}}}$, ${\displaystyle {\rm {OB}}}$, ${\displaystyle {\rm {O\Gamma }}}$, ${\displaystyle {\rm {O\Delta }}}$ και τις χορδές ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$. Σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {OAB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Gamma \Delta }}}$ είναι ίσα. Συνεπώς θα είναι και ${\displaystyle {\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}}$. (${\displaystyle \Leftarrow }$) Θεωρούμε δύο ίσες χορδές ${\displaystyle {\rm {AB}}}$, ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$ σε κύκλο ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$. Τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {OAB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Gamma \Delta }}}$ που σχηματίζονται είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς. Συνεπώς ${\displaystyle {\widehat {\rm {AOB}}}={\widehat {\rm {\Gamma O\Delta }}}}$ (ισότητα γωνιών) από όπου ${\displaystyle {\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}}$ (ισότητα τόξων).

• Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου προς μία χορδή του, διχοτομεί τη χορδή.

Απόδειξη

Το απόστημα ${\displaystyle {\rm {OM}}}$ της χορδής ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ Έστω ένας κύκλος ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$ και ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ μία χορδή του. Αν ${\displaystyle {\rm {OM}}}$ είναι το απόστημα της ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ τότε τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {OMB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {OMA}}}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη (την ${\displaystyle {\rm {OM}}}$) και τις υποτείνουσές τους ίσες (καθώς ${\displaystyle {\rm {OA=OB}}}$). Έτσι ${\displaystyle \mathrm {MA} =\mathrm {MB} }$, άρα το ${\displaystyle {\rm {M}}}$ θα είναι μέσο της ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και ${\displaystyle {\widehat {\rm {MOA}}}={\widehat {\rm {MOB}}}}$ (ισότητα γωνιών), δηλαδή ${\displaystyle \mathrm {NA} =\mathrm {NB} }$ (ισότητα τόξων) και το ${\displaystyle {\rm {N}}}$ είναι το μέσο του τόξου ${\displaystyle {\rm {AB}}}$.

• Δύο χορδές κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.

Απόδειξη

Δύο χορδές είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα. (${\displaystyle \Rightarrow }$) Έστω ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$ ίσες χορδές σε έναν κύκλο ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$. Φέρνουμε τα αποστήματα ${\displaystyle {\rm {OK}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Lambda }}}$ και τις ακτίνες ${\displaystyle {\rm {OA}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Gamma }}}$ αντίστοιχα. Τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {OKA}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Lambda \Gamma }}}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με ρ. Έτσι και οι ${\displaystyle {\rm {OK}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Lambda }}}$ θα είναι ίσες. (${\displaystyle \Leftarrow }$) Έστω ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$ χορδές σε έναν κύκλο ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$ με ίσα αποστήματα ${\displaystyle {\rm {OK}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Lambda }}}$ αντίστοιχα. Φέρνουμε τις ακτίνες ${\displaystyle {\rm {OA}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Gamma }}}$. Τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {OKA}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Lambda \Gamma }}}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με ${\displaystyle \rho }$. Έτσι και ${\displaystyle \mathrm {AK} =\mathrm {\Gamma \Lambda } }$, δηλαδή οι χορδές θα είναι ίσες μεταξύ τους.

• Κάθε χορδή σε κύκλο είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου.

Σχετικές έννοιες

Ο φορέας μίας χορδής ενός κύκλου λέγεται τέμνουσα του κύκλου.

Χορδή επαφών είναι η χορδή που συνδέει τα σημεία επαφής δυο εφαπτόμενων που φέρονται από ένα εξωτερικό σημείο του κύκλου.

Δείτε επίσης

• Τόξο (γεωμετρία)
• Κύκλος
• Ευθεία τέμνουσα κύκλου
• Θεώρημα τριών χορδών