![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Square_root_of_2_triangle.svg/langel-640px-Square_root_of_2_triangle.svg.png&w=640&q=50)
Κατασκευάσιμος αριθμός
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στη γεωμετρία και την άλγεβρα, ένας πραγματικός αριθμός είναι κατασκευάσιμος αριθμός εάν και μόνον εάν, δεδομένου ενός ευθύγραμμου τμήματος μοναδιαίου μήκους, ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους
μπορεί να κατασκευαστεί με διαβήτη και χάρακα σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Ισοδύναμα, ο
είναι κατασκευάσιμος αν και μόνο αν υπάρχει έκφραση για τον
που χρησιμοποιοεί μόνο ακέραιους αριθμούς και τις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού, της διαίρεσης και της τετραγωνικής ρίζας.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Square_root_of_2_triangle.svg/320px-Square_root_of_2_triangle.svg.png)
Ο γεωμετρικός ορισμός των κατασκευάσιμων αριθμών οδηγεί σε αντίστοιχο ορισμό των κατασκευάσιμων σημείων, τα οποία μπορούν και πάλι να περιγραφούν είτε γεωμετρικά είτε αλγεβρικά. Ένα σημείο είναι κατασκευάσιμο εάν μπορεί να παραχθεί ως ένα από τα σημεία κατασκευής ενός διαβήτη και ενός χάρακα (τελικό σημείο ενός ευθύγραμμου τμήματος ή σημείο τομής δύο ευθειών ή κύκλων), από ένα τμήμα δεδομένου μοναδιαίου μήκους. Εναλλακτικά και ισοδύναμα, θεωρώντας τα δύο άκρα του δεδομένου τμήματος ως τα σημεία (0, 0) και (1, 0) ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, ένα σημείο είναι κατασκευάσιμο εάν και μόνο εάν οι καρτεσιανές συντεταγμένες του είναι και οι δύο κατασκευάσιμοι αριθμοί.[1] Οι κατασκευάσιμοι αριθμοί και σημεία λέγονται επίσης αριθμοί κατασκευάσιμοι με χάρακα και διαβήτη και σημεία κατασκευάσιμα με χάρακα και διαβήτη, για να διακριθούν από τους αριθμούς και τα σημεία που μπορούν να κατασκευαστούν με άλλες διαδικασίες.[2]
Το σύνολο των κατασκευάσιμων αριθμών αποτελεί ένα πεδίο: εφαρμόζοντας μία από τις τέσσερις βασικές αριθμητικές πράξεις στα μέλη αυτού του συνόλου, λαμβάνουμε έναν άλλο κατασκευάσιμο αριθμό.[3] Το πεδίο αυτό αποτελεί επέκταση των ρητών αριθμών και περιέχεται με τη σειρά του στο πεδίο των αλγεβρικών αριθμών.[3] Είναι το Ευκλείδειο κλείσιμο των ρητών αριθμών, η μικρότερη επέκταση των ρητών αριθμών που περιλαμβάνει τις τετραγωνικές ρίζες όλων των θετικών αριθμών της.[4]
Η απόδειξη της ισοδυναμίας μεταξύ αλγεβρικού και γεωμετρικού ορισμού των κατασκευάσιμων αριθμών είχε ως αποτέλεσμα να μετατραπούν γεωμετρικά ερωτήματα σχετικά με τις κατασκευές με διαβήτη και χάρακα σε αλγεβρικά, συμπεριλαμβανομένων πολλών διάσημων προβλημάτων από τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά. Η αλγεβρική διατύπωση αυτών των ερωτημάτων απέδειξε ότι οι λύσεις τους δεν είναι κατασκευάσιμες, στην γεωμετρική τους μορφή έμειναν άλυτα για αιώνες.