Αναλογία (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, δυο μεγέθη λέγονται ανάλογα όταν οι τιμές τους του ενός είναι πολλαπλάσια των τιμών του άλλου, δηλαδή όταν οι αντίστοιχες τιμές των δύο μεγεθών έχουν σταθερό λόγο.

Συγκεκριμένα, δύο πραγματικοί αριθμοί ${\displaystyle \alpha ,\gamma }$ λέγονται ανάλογοι των ${\displaystyle \beta ,\delta }$ αν ισχύει ότι για κάποιον αριθμό ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \alpha =\lambda \cdot \gamma }$ και ${\displaystyle \beta =\lambda \cdot \delta }$.

Αν ${\displaystyle \beta ,\delta \neq 0}$ αυτό είναι ισοδύναμο με

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\gamma }{\delta }}}$.

Παραδείγματα

• Οι αριθμοί ${\displaystyle \alpha =6,\gamma =10}$ είναι ανάλογοι των ${\displaystyle \beta =3,\delta =5}$ με λόγο ${\displaystyle \lambda =2}$, καθώς ${\displaystyle 6=2\cdot 3}$ και ${\displaystyle 10=2\cdot 5}$.
• Οι αριθμοί ${\displaystyle \alpha =12,\gamma =18}$ είναι ανάλογοι των ${\displaystyle \beta =4,\delta =6}$ με λόγο ${\displaystyle \lambda =3}$, καθώς ${\displaystyle 12=3\cdot 4}$ και ${\displaystyle 18=3\cdot 6}$.
• Οι αριθμοί ${\displaystyle \alpha =1,\gamma =2.5}$ είναι ανάλογοι των ${\displaystyle \beta =4,\delta =10}$ με λόγο ${\displaystyle \lambda =0.25}$, καθώς ${\displaystyle 1=0.25\cdot 4}$ και ${\displaystyle 2.5=0.25\cdot 10}$.

Ιδιότητες

Ισχύοι οι εξής βασικές ιδιότητες για τις αναλογίες:^[1]

• Για πραγματικούς αριθμούς ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ ισχύει ότι

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\gamma }{\delta }}}$, αν και μόνο αν ${\displaystyle \alpha \delta =\beta \gamma }$.

• Για πραγματικούς αριθμούς ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ ισχύει ότι

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\gamma }{\delta }}}$, αν και μόνο αν ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\gamma }}={\frac {\beta }{\delta }}}$.

• Για πραγματικούς αριθμούς ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ ισχύει ότι

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\gamma }{\delta }}}$, αν και μόνο αν ${\displaystyle {\frac {\alpha \pm \beta }{\beta }}={\frac {\gamma \pm \delta }{\delta }}}$ αν και μόνο αν ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta \pm \alpha }}={\frac {\gamma }{\delta \pm \gamma }}}$.

• Για πραγματικούς αριθμούς ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k}}$ και ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{k}}$ ισχύει ότι αν

${\displaystyle {\frac {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}={\frac {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}=\ldots ={\frac {\alpha _{k}}{\beta _{k}}}}$, τότε ${\displaystyle {\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{k}}{\beta _{1}+\beta _{2}+\ldots +\beta _{k}}}={\frac {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}={\frac {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}=\ldots ={\frac {\alpha _{k}}{\beta _{k}}}}$.

Άμεση αναλογία

Αν έχουμε δυο μεταβλητές x και y, το y είναι άμεση αναλογία του x όταν υπάρχει μια σταθερά k τέτοια ώστε

${\displaystyle y=kx\,}$

Η αναλογία γράφεται

${\displaystyle y\propto x}$

και η σταθερά k καλείται λόγος ή σταθερά αναλογίας

${\displaystyle k=y/x}$.

Δείτε επίσης

• Χρυσή τομή
• Θεώρημα του Θαλή

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή για λόγους και αναλογίες
• Διαδραστική εφαρμογή για προϊόντα και αναλογίες
• Διαδραστική εφαρμογή για αναλογίες στο θεώρημα του Θαλή

Ελληνικά άρθρα

• Ρίζος, Γ. (Απρίλιος 2014). «Χρησιμοποιώντας τις αναλογίες σε προβλήματα καθημερινής ζωής». Ευκλείδης Α΄ (92): 10-15. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/publications/issues_files/EYKLEIDHS_A_T92.pdf.