Σπείρα του Ούλαμ

Γραφική αναπαράσταση πρώτων αριθμών From Wikipedia, the free encyclopedia

Σπείρα του Ούλαμ
Remove ads

Η σπείρα του Ούλαμ (αγγλικά: Ulam spiral) ή σπείρα πρώτων αριθμών αποτελεί γραφική αναπαράσταση ομάδων πρώτων αριθμών, η οποία αναπτύχθηκε από τον Πολωνό μαθηματικό Στάνισλαβ Ούλαμ το 1963.[1] Κατασκευάζεται με τη διευθέτηση των θετικών ακεραίων αριθμών εντός μιας τετράγωνου σχήματος σπείρας και σημειώνοντας με ειδική σήμανση ή χρωματισμό τους πρώτους αριθμούς εντός της. Ένα από τα χαρακτηριστικά της σπείρας, είναι η θεσιακή κατανομή των πρώτων αριθμών ως προς τις διαγώνιες, οριζόντιες και κάθετες γραμμές που σχηματίζουν. Η εμφάνιση τέτοιων γραμμών δεν είναι κάτι αναπάντεχο, καθώς οι γραμμές πρώτων στην σπείρα αντιστοιχούν σε πολυώνυμα δευτεροβάθμιων εξισώσεων, και ορισμένα από αυτά τα πολυώνυμα όπως ο τύπος x2 − x + 41 του Λέοναρντ Όιλερ για την παραγωγή πρώτων αριθμών, παράγουν πρώτους με μεγάλη συχνότητα εμφάνισης στην σπείρα.[2][3]

Thumb
Σπείρα του Ούλαμ μεγέθους 150 x 150 με πρώτους αριθμούς (γαλανό χρώμα) και σύνθετους (λευκό χρώμα)

Ωστόσο η σπείρα σχετίζεται και με άλλα σημαντικά ανεπίλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών όπως τα προβλήματα του Λαντάου. Συγκεκριμένα, καμία δευτεροβάθμια εξίσωση δεν έχει αποδειχτεί πως μπορεί να παράγει πρώτους αριθμούς επ' άπειρον, και πολύ περισσότερο το να έχει ασυμπτωτική συχνότητα πρώτων αριθμών ώστε να σχηματίζει ομαδοποιήσεις σε γραμμές.[4]

Remove ads

Ιστορία

Ο Στάνισλαβ Ούλαμ ανακάλυψε τη σπείρα το 1963 καθώς παρακολουθούσε μια -κατά τα λεγόμενα του- πολύ βαρετή παρουσίαση σε επιστημονικό συνέδριο και για να περάσει η ώρα έκανε διάφορα σχέδια, μουτζούρες και υπολογισμούς στο σημειωματάριο του.[1] Οι πρώτοι υπολογισμοί του με το χέρι σε ότι αφορούσε την ιδέα της σπείρας, αφορούσαν μονάχα μερικές εκατοντάδες σημεία επί της σπείρας. Λίγο αργότερα, αποφάσισε να δοκιμάσει περαιτέρω την ιδέα αυτή μαζί με συνεργάτες του, και χρησιμοποίησαν τον ηλεκτρονικό υπολογιστή MANIAC II στο παρατηρητήριο του Λος Άλαμος στο Νέο Μεξικό των ΗΠΑ, ώστε οι υπολογισμοί να επεκταθούν σε 100.000 σημεία. Κατόπιν υπολογίστηκε η πυκνότητα των πρώτων αριθμών για αριθμούς έως το 10.000.000 μαζί με τις πλούσιες σε πρώτους αριθμούς γραμμές και τις όχι και τόσο πλούσιες. Παρήχθησαν απεικονίσεις της σπείρας έως τα 65.000 σημεία και κατόπιν φωτογραφήθηκαν.[5] Οι απεικονίσεις αυτές χρησιμοποιήθηκαν κατόπιν για την εικονογράφηση του άρθρου στο επιστημονικό περιοδικό Scientific American σχετικά με την ιδέα της σπείρας, και από εκεί η κατασκευή αυτή απέκτησε ευρύτερη δημοσιότητα το 1964.

Το άρθρο του Scientific American έκανε σύντομη αναφορά και στον Λώρενς Μονρώ Κλάουμπερ,[6][7] ο οποίος το 1932, 30 έτη πριν την εφεύρεση του Ούλαμ, είχε συντάξει ένα παρόμοιο σχεδιάγραμμα το οποίο είχε τριγωνικό σχήμα και περιείχε συγκεντρώσεις πρώτων αριθμών και ο Κλάουντερ είχε επίσης σχολιάσει τον συσχετισμό των γραμμών με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις παραγωγής πρώτων αριθμών.[8] Ο ίδιος περιέγραψε την κατασκευή του λέγοντας πως οι ακέραιοι τοποθετούνται σε τριγωνικό σχήμα με το 1 να βρίσκεται στην κορυφή του τριγώνου, στην αμέσως παρακάτω γραμμή οι αριθμοί 2 έως 4, στην τρίτη γραμμή οι αριθμοί 5 έως 9, και παρομοίως στις υπόλοιπες γραμμές. Όταν σημειωθούν οι πρώτοι αριθμοί, προκύπτουν συγκεντρώσεις των αριθμών αυτών σε ορισμένες κάθετες και οριζόντιες γραμμές, παρόμοιες με τις εξισώσεις παραγωγής πρώτων αριθμών του Όιλερ.[8]

Πέρα από τους Κλάουμπερ και Ούλαμ, ο συγγραφέας επιστημονικής φαντασίας Άρθουρ Κλαρκ στο διήγημα του με τίτλο Η πόλη και τα άστρα (1956), είχε περιγράψει το φαινόμενο της συγκέντρωσης πρώτων αριθμών και τα πιθανά σχέδια και επαναλήψεις που μπορεί να προκύψουν, χωρίς ωστόσο να προχωρήσει παραπέρα με κάποια υλοποίηση.[9]

Remove ads

Κατασκευή

Η αριθμητική σπείρα κατασκευάζεται ξεκινώντας με με την αναγραφή του αριθμού εκκίνησης στο κέντρο και κατόπιν προχωρώντας στην αναγραφή των υπολοίπων αριθμών σε κυκλική κατεύθυνση προς τα δεξιά:[10]

Thumb
Numbers from 1 to 49 placed in spiral order

Η τελική μορφή της σπείρας προκύπτει με την σημείωση των αριθμών οι οποίοι είναι πρώτοι αριθμοί (οι μη πρώτοι ή σύνθετοι αριθμοί αποκρύπτονται ή χρωματίζονται διαφορετικά):[10][11]

Thumb
Small Ulam spiral

Οι γραμμές που προκύπτουν στην κατανομή των πρώτων αριθμών υποδηλώνουν υψηλή πυκνότητα πρώτων αριθμών. Συνήθως η σπείρα σχηματίζεται ξεκινώντας με τον αριθμό 1 στο κέντρο, ωστόσο μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοσδήποτε αριθμός ως σημείο εκκίνησης. Η τιμή του 41, δίνει ένα ιδιαίτερο αποτέλεσμα με διαγώνια γραμμή, κάτι που διαφαίνεται και στην σπείρα 31x31 (από το 41 στο κέντρο, έως τον αριθμό 1001 στην κάτω δεξιά γωνία) που σχηματίζεται όπως παρακάτω (οι πράσινοι αριθμοί διαθέτουν 3 διαιρέτες ενώ οι κόκκινοι μεγάλο αριθμό διαιρετών):[12]

941940939938937936935934933932931930929928927926925924923922921920919918917916915914913912911
942825824823822821820819818817816815814813812811810809808807806805804803802801800799798797910
943826717716715714713712711710709708707706705704703702701700699698697696695694693692691796909
944827718617616615614613612611610609608607606605604603602601600599598597596595594593690795908
945828719618525524523522521520519518517516515514513512511510509508507506505504503592689794907
946829720619526441440439438437436435434433432431430429428427426425424423422421502591688793906
947830721620527442365364363362361360359358357356355354353352351350349348347420501590687792905
948831722621528443366297296295294293292291290289288287286285284283282281346419500589686791904
949832723622529444367298237236235234233232231230229228227226225224223280345418499588685790903
950833724623530445368299238185184183182181180179178177176175174173222279344417498587684789902
951834725624531446369300239186141140139138137136135134133132131172221278343416497586683788901
952835726625532447370301240187142105104103102101100999897130171220277342415496585682787900
9538367276265334483713022411881431067776757473727196129170219276341414495584681786899
9548377286275344493723032421891441077857565554537095128169218275340413494583680785898
9558387296285354503733042431901451087958454443526994127168217274339412493582679784897
9568397306295364513743052441911461098059464142516893126167216273338411492581678783896
9578407316305374523753062451921471108160474849506792125166215272337410491580677782895
9588417326315384533763072461931481118261626364656691124165214271336409490579676781894
9598427336325394543773082471941491128384858687888990123164213270335408489578675780893
960843734633540455378309248195150113114115116117118119120121122163212269334407488577674779892
961844735634541456379310249196151152153154155156157158159160161162211268333406487576673778891
962845736635542457380311250197198199200201202203204205206207208209210267332405486575672777890
963846737636543458381312251252253254255256257258259260261262263264265266331404485574671776889
964847738637544459382313314315316317318319320321322323324325326327328329330403484573670775888
965848739638545460383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402483572669774887
966849740639546461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482571668773886
967850741640547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570667772885
968851742641642643644645646647648649650651652653654655656657658659660661662663664665666771884
969852743744745746747748749750751752753754755756757758759760761762763764765766767768769770883
970853854855856857858859860861862863864865866867868869870871872873874875876877878879880881882
97197297397497597697797897998098198298398498598698798898999099199299399499599699799899910001001

η ίδια συμπεριφορά συνεχίζει και σε μεγαλύτερες διαστάσεις (100x100, έως το 10240) με πολύ μικρά διαλείμματα:

10042964596449643964296419640963996389637963696359634963396329631963096299628962796269625962496239622962196209619961896179616961596149613961296119610960996089607960696059604960396029601960095999598959795969595959495939592959195909589958895879586958595849583958295819580957995789577957695759574957395729571957095699568956795669565956495639562956195609559955895579556955595549553955295519550954995489547
10043964692579256925592549253925292519250924992489247924692459244924392429241924092399238923792369235923492339232923192309229922892279226922592249223922292219220921992189217921692159214921392129211921092099208920792069205920492039202920192009199919891979196919591949193919291919190918991889187918691859184918391829181918091799178917791769175917491739172917191709169916891679166916591649163916291619546
10044964792588877887688758874887388728871887088698868886788668865886488638862886188608859885888578856885588548853885288518850884988488847884688458844884388428841884088398838883788368835883488338832883188308829882888278826882588248823882288218820881988188817881688158814881388128811881088098808880788068805880488038802880188008799879887978796879587948793879287918790878987888787878687858784878391609545
10045964892598878850585048503850285018500849984988497849684958494849384928491849084898488848784868485848484838482848184808479847884778476847584748473847284718470846984688467846684658464846384628461846084598458845784568455845484538452845184508449844884478446844584448443844284418440843984388437843684358434843384328431843084298428842784268425842484238422842184208419841884178416841584148413878291599544
10046964992608879850681418140813981388137813681358134813381328131813081298128812781268125812481238122812181208119811881178116811581148113811281118110810981088107810681058104810381028101810080998098809780968095809480938092809180908089808880878086808580848083808280818080807980788077807680758074807380728071807080698068806780668065806480638062806180608059805880578056805580548053805280518412878191589543
10047965092618880850781427785778477837782778177807779777877777776777577747773777277717770776977687767776677657764776377627761776077597758775777567755775477537752775177507749774877477746774577447743774277417740773977387737773677357734773377327731773077297728772777267725772477237722772177207719771877177716771577147713771277117710770977087707770677057704770377027701770076997698769780508411878091579542
10048965192628881850881437786743774367435743474337432743174307429742874277426742574247423742274217420741974187417741674157414741374127411741074097408740774067405740474037402740174007399739873977396739573947393739273917390738973887387738673857384738373827381738073797378737773767375737473737372737173707369736873677366736573647363736273617360735973587357735673557354735373527351769680498410877991569541
10049965292638882850981447787743870977096709570947093709270917090708970887087708670857084708370827081708070797078707770767075707470737072707170707069706870677066706570647063706270617060705970587057705670557054705370527051705070497048704770467045704470437042704170407039703870377036703570347033703270317030702970287027702670257024702370227021702070197018701770167015701470137350769580488409877891559540
10050965392648883851081457788743970986765676467636762676167606759675867576756675567546753675267516750674967486747674667456744674367426741674067396738673767366735673467336732673167306729672867276726672567246723672267216720671967186717671667156714671367126711671067096708670767066705670467036702670167006699669866976696669566946693669266916690668966886687668666856684668370127349769480478408877791549539
10051965492658884851181467789744070996766644164406439643864376436643564346433643264316430642964286427642664256424642364226421642064196418641764166415641464136412641164106409640864076406640564046403640264016400639963986397639663956394639363926391639063896388638763866385638463836382638163806379637863776376637563746373637263716370636963686367636663656364636363626361668270117348769380468407877691539538
10052965592668885851281477790744171006767644261256124612361226121612061196118611761166115611461136112611161106109610861076106610561046103610261016100609960986097609660956094609360926091609060896088608760866085608460836082608160806079607860776076607560746073607260716070606960686067606660656064606360626061606060596058605760566055605460536052605160506049604860476360668170107347769280458406877591529537
10053965692678886851381487791744271016768644361265817581658155814581358125811581058095808580758065805580458035802580158005799579857975796579557945793579257915790578957885787578657855784578357825781578057795778577757765775577457735772577157705769576857675766576557645763576257615760575957585757575657555754575357525751575057495748574757465745574457435742574160466359668070097346769180448405877491519536
10054965792688887851481497792744371026769644461275818551755165515551455135512551155105509550855075506550555045503550255015500549954985497549654955494549354925491549054895488548754865485548454835482548154805479547854775476547554745473547254715470546954685467546654655464546354625461546054595458545754565455545454535452545154505449544854475446544554445443574060456358667970087345769080438404877391509535
10055965892698888851581507793744471036770644561285819551852255224522352225221522052195218521752165215521452135212521152105209520852075206520552045203520252015200519951985197519651955194519351925191519051895188518751865185518451835182518151805179517851775176517551745173517251715170516951685167516651655164516351625161516051595158515751565155515451535442573960446357667870077344768980428403877291499534
10056965992708889851681517794744571046771644661295820551952264941494049394938493749364935493449334932493149304929492849274926492549244923492249214920491949184917491649154914491349124911491049094908490749064905490449034902490149004899489848974896489548944893489248914890488948884887488648854884488348824881488048794878487748764875487448734872487151525441573860436356667770067343768880418402877191489533
10057966092718890851781527795744671056772644761305821552052274942466546644663466246614660465946584657465646554654465346524651465046494648464746464645464446434642464146404639463846374636463546344633463246314630462946284627462646254624462346224621462046194618461746164615461446134612461146104609460846074606460546044603460246014600459945984597487051515440573760426355667670057342768780408401877091479532
10058966192728891851881537796744771066773644861315822552152284943466643974396439543944393439243914390438943884387438643854384438343824381438043794378437743764375437443734372437143704369436843674366436543644363436243614360435943584357435643554354435343524351435043494348434743464345434443434342434143404339433843374336433543344333433243314596486951505439573660416354667570047341768680398400876991469531
10059966292738892851981547797744871076774644961325823552252294944466743984137413641354134413341324131413041294128412741264125412441234122412141204119411841174116411541144113411241114110410941084107410641054104410341024101410040994098409740964095409440934092409140904089408840874086408540844083408240814080407940784077407640754074407343304595486851495438573560406353667470037340768580388399876891459530
10060966392748893852081557798744971086775645061335824552352304945466843994138388538843883388238813880387938783877387638753874387338723871387038693868386738663865386438633862386138603859385838573856385538543853385238513850384938483847384638453844384338423841384038393838383738363835383438333832383138303829382838273826382538243823407243294594486751485437573460396352667370027339768480378398876791449529
10061966492758894852181567799745071096776645161345825552452314946466944004139388636413640363936383637363636353634363336323631363036293628362736263625362436233622362136203619361836173616361536143613361236113610360936083607360636053604360336023601360035993598359735963595359435933592359135903589358835873586358535843583358235813822407143284593486651475436573360386351667270017338768380368397876691439528
10062966592768895852281577800745171106777645261355826552552324947467044014140388736423405340434033402340134003399339833973396339533943393339233913390338933883387338633853384338333823381338033793378337733763375337433733372337133703369336833673366336533643363336233613360335933583357335633553354335333523351335033493348334735803821407043274592486551465435573260376350667170007337768280358396876591429527
10063966692778896852381587801745271116778645361365827552652334948467144024141388836433406317731763175317431733172317131703169316831673166316531643163316231613160315931583157315631553154315331523151315031493148314731463145314431433142314131403139313831373136313531343133313231313130312931283127312631253124312331223121334635793820406943264591486451455434573160366349667069997336768180348395876491419526
10064966792788897852481597802745371126779645461375828552752344949467244034142388936443407317829572956295529542953295229512950294929482947294629452944294329422941294029392938293729362935293429332932293129302929292829272926292529242923292229212920291929182917291629152914291329122911291029092908290729062905290429033120334535783819406843254590486351445433573060356348666969987335768080338394876391409525
10065966892798898852581607803745471136780645561385829552852354950467344044143389036453408317929582745274427432742274127402739273827372736273527342733273227312730272927282727272627252724272327222721272027192718271727162715271427132712271127102709270827072706270527042703270227012700269926982697269626952694269329023119334435773818406743244589486251435432572960346347666869977334767980328393876291399524
10066966992808899852681617804745571146781645661395830552952364951467444054144389136463409318029592746254125402539253825372536253525342533253225312530252925282527252625252524252325222521252025192518251725162515251425132512251125102509250825072506250525042503250225012500249924982497249624952494249324922491269229013118334335763817406643234588486151425431572860336346666769967333767880318392876191389523
10067967092818900852781627805745671156782645761405831553052374952467544064145389236473410318129602747254223452344234323422341234023392338233723362335233423332332233123302329232823272326232523242323232223212320231923182317231623152314231323122311231023092308230723062305230423032302230123002299229822972490269129003117334235753816406543224587486051415430572760326345666669957332767780308391876091379522
10068967192828901852881637806745771166783645861415832553152384953467644074146389336483411318229612748254323462157215621552154215321522151215021492148214721462145214421432142214121402139213821372136213521342133213221312130212921282127212621252124212321222121212021192118211721162115211421132112211122962489269028993116334135743815406443214586485951405429572660316344666569947331767680298390875991369521
10069967292838902852981647807745871176784645961425833553252394954467744084147389436493412318329622749254423472158197719761975197419731972197119701969196819671966196519641963196219611960195919581957195619551954195319521951195019491948194719461945194419431942194119401939193819371936193519341933211022952488268928983115334035733814406343204585485851395428572560306343666469937330767580288389875891359520
10070967392848903853081657808745971186785646061435834553352404955467844094148389536503413318429632750254523482159197818051804180318021801180017991798179717961795179417931792179117901789178817871786178517841783178217811780177917781777177617751774177317721771177017691768176717661765176417631932210922942487268828973114333935723813406243194584485751385427572460296342666369927329767480278388875791349519
10071967492858904853181667809746071196786646161445835553452414956467944104149389636513414318529642751254623492160197918061641164016391638163716361635163416331632163116301629162816271626162516241623162216211620161916181617161616151614161316121611161016091608160716061605160416031602160117621931210822932486268728963113333835713812406143184583485651375426572360286341666269917328767380268387875691339518
10072967592868905853281677810746171206787646261455836553552424957468044114150389736523415318629652752254723502161198018071642148514841483148214811480147914781477147614751474147314721471147014691468146714661465146414631462146114601459145814571456145514541453145214511450144914481447160017611930210722922485268628953112333735703811406043174582485551365425572260276340666169907327767280258386875591329517
10073967692878906853381687811746271216788646361465837553652434958468144124151389836533416318729662753254823512162198118081643148613371336133513341333133213311330132913281327132613251324132313221321132013191318131713161315131413131312131113101309130813071306130513041303130213011446159917601929210622912484268528943111333635693810405943164581485451355424572160266339666069897326767180248385875491319516
10074967792888907853481697812746371226789646461475838553752444959468244134152389936543417318829672754254923522163198218091644148713381197119611951194119311921191119011891188118711861185118411831182118111801179117811771176117511741173117211711170116911681167116611651164116313001445159817591928210522902483268428933110333535683809405843154580485351345423572060256338665969887325767080238384875391309515
10075967892898908853581707813746471236790646561485839553852454960468344144153390036553418318929682755255023532164198318101645148813391198106510641063106210611060105910581057105610551054105310521051105010491048104710461045104410431042104110401039103810371036103510341033116212991444159717581927210422892482268328923109333435673808405743144579485251335422571960246337665869877324766980228383875291299514
1007696799290890985368171781474657124679164666149584055395246496146844415415439013656341931902969275625512354216519841811164614891340119910669419409399389379369359349339329319309299289279269259249239229219209199189179169159149139129111032116112981443159617571926210322882481268228913108333335663807405643134578485151325421571860236336665769867323766880218382875191289513
1007796809291891085378172781574667125679264676150584155405247496246854416415539023657342031912970275725522355216619851812164714901341120010679428258248238228218208198188178168158148138128118108098088078068058048038028018007997987979101031116012971442159517561925210222872480268128903107333235653806405543124577485051315420571760226335665669857322766780208381875091279512
1007896819292891185388173781674677126679364686151584255415248496346864417415639033658342131922971275825532356216719861813164814911342120110689438267177167157147137127117107097087077067057047037027017006996986976966956946936926917969091030115912961441159417551924210122862479268028893106333135643805405443114576484951305419571660216334665569847321766680198380874991269511
1007996829293891285398174781774687127679464696152584355425249496446874418415739043659342231932972275925542357216819871814164914921343120210699448277186176166156146136126116106096086076066056046036026016005995985975965955945936907959081029115812951440159317541923210022852478267928883105333035633804405343104575484851295418571560206333665469837320766580188379874891259510
1008096839294891385408175781874697128679564706153584455435250496546884419415839053660342331942973276025552358216919881815165014931344120310709458287196185255245235225215205195185175165155145135125115105095085075065055045035926897949071028115712941439159217531922209922842477267828873104332935623803405243094574484751285417571460196332665369827319766480178378874791249509
1008196849295891485418176781974707129679664716154584555445251496646894420415939063661342431952974276125562359217019891816165114941345120410719468297206195264414404394384374364354344334324314304294284274264254244234224215025916887939061027115612931438159117521921209822832476267728863103332835613802405143084573484651275416571360186331665269817318766380168377874691239508
1008296859296891585428177782074717130679764726155584655455252496746904421416039073662342531962975276225572360217119901817165214951346120510729478307216205274423653643633623613603593583573563553543533523513503493483474205015906877929051026115512921437159017511920209722822475267628853102332735603801405043074572484551265415571260176330665169807317766280158376874591229507
1008396869297891685438178782174727131679864736156584755465253496846914422416139083663342631972976276325582361217219911818165314961347120610739488317226215284433662972962952942932922912902892882872862852842832822813464195005896867919041025115412911436158917501919209622812474267528843101332635593800404943064571484451255414571160166329665069797316766180148375874491219506
1008496879298891785448179782274737132679964746157584855475254496946924423416239093664342731982977276425592362217319921819165414971348120710749498327236225294443672982372362352342332322312302292282272262252242232803454184995886857909031024115312901435158817491918209522802473267428833100332535583799404843054570484351245413571060156328664969787315766080138374874391209505
1008596889299891885458180782374747133680064756158584955485255497046934424416339103665342831992978276525602363217419931820165514981349120810759508337246235304453682992381851841831821811801791781771761751741732222793444174985876847899021023115212891434158717481917209422792472267328823099332435573798404743044569484251235412570960146327664869777314765980128373874291199504
1008696899300891985468181782474757134680164766159585055495256497146944425416439113666342932002979276625612364217519941821165614991350120910769518347256245314463693002391861411401391381371361351341331321311722212783434164975866837889011022115112881433158617471916209322782471267228813098332335563797404643034568484151225411570860136326664769767313765880118372874191189503
1008796909301892085478182782574767135680264776160585155505257497246954426416539123667343032012980276725622365217619951822165715001351121010779528357266255324473703012401871421051041031021011009998971301712202773424154965856827879001021115012871432158517461915209222772470267128803097332235553796404543024567484051215410570760126325664669757312765780108371874091179502
10088969193028921854881837826747771366803647861615852555152584973469644274166391336683431320229812768256323662177199618231658150113521211107895383672762653344837130224118814310677767574737271961291702192763414144955846817868991020114912861431158417451914209122762469267028793096332135543795404443014566483951205409570660116324664569747311765680098370873991169501
10089969293038922854981847827747871376804647961625853555252594974469744284167391436693432320329822769256423672178199718241659150213531212107995483772862753444937230324218914410778575655545370951281692182753404134945836807858981019114812851430158317441913209022752468266928783095332035533794404343004565483851195408570560106323664469737310765580088369873891159500
10090969393048923855081857828747971386805648061635854555352604975469844294168391536703433320429832770256523682179199818251660150313541213108095583872962853545037330424319014510879584544435269941271682172743394124935826797848971018114712841429158217431912208922742467266828773094331935523793404242994564483751185407570460096322664369727309765480078368873791149499
10091969493058924855181867829748071396806648161645855555452614976469944304169391636713434320529842771256623692180199918261661150413551214108195683973062953645137430524419114610980594641425168931261672162733384114925816787838961017114612831428158117421911208822732466266728763093331835513792404142984563483651175406570360086321664269717308765380068367873691139498
10092969593068925855281877830748171406807648261655856555552624977470044314170391736723435320629852772256723702181200018271662150513561215108295784073163053745237530624519214711081604748495067921251662152723374104915806777828951016114512821427158017411910208722722465266628753092331735503791404042974562483551165405570260076320664169707307765280058366873591129497
10093969693078926855381887831748271416808648361665857555652634978470144324171391836733436320729862773256823712182200118281663150613571216108395884173263153845337630724619314811182616263646566911241652142713364094905796767818941015114412811426157917401909208622712464266528743091331635493790403942964561483451155404570160066319664069697306765180048365873491119496
10094969793088927855481897832748371426809648461675858555752644979470244334172391936743437320829872774256923722183200218291664150713581217108495984273363253945437730824719414911283848586878889901231642132703354084895786757808931014114312801425157817391908208522702463266428733090331535483789403842954560483351145403570060056318663969687305765080038364873391109495
1009596989309892885558190783374847143681064856168585955585265498047034434417339203675343832092988277525702373218420031830166515081359121810859608437346335404553783092481951501131141151161171181191201211221632122693344074885776747798921013114212791424157717381907208422692462266328723089331435473788403742944559483251135402569960046317663869677304764980028363873291099494
1009696999310892985568191783474857144681164866169586055595266498147044435417439213676343932102989277625712374218520041831166615091360121910869618447356345414563793102491961511521531541551561571581591601611622112683334064875766737788911012114112781423157617371906208322682461266228713088331335463787403642934558483151125401569860036316663769667303764880018362873191089493
1009797009311893085578192783574867145681264876170586155605267498247054436417539223677344032112990277725722375218620051832166715101361122010879628457366355424573803112501971981992002012022032042052062072082092102673324054865756727778901011114012771422157517361905208222672460266128703087331235453786403542924557483051115400569760026315663669657302764780008361873091079492
1009897019312893185588193783674877146681364886171586255615268498347064437417639233678344132122991277825732376218720061833166815111362122110889638467376365434583813122512522532542552562572582592602612622632642652663314044855746717768891010113912761421157417351904208122662459266028693086331135443785403442914556482951105399569660016314663569647301764679998360872991069491
1009997029313893285598194783774887147681464896172586355625269498447074438417739243679344232132992277925742377218820071834166915121363122210899648477386375444593823133143153163173183193203213223233243253263273283293304034845736707758881009113812751420157317341903208022652458265928683085331035433784403342904555482851095398569560006313663469637300764579988359872891059490
1010097039314893385608195783874897148681564906173586455635270498547084439417839253680344332142993278025752378218920081835167015131364122310909658487396385454603833843853863873883893903913923933943953963973983994004014024835726697748871008113712741419157217331902207922642457265828673084330935423783403242894554482751085397569459996312663369627299764479978358872791049489
1010197049315893485618196783974907149681664916174586555645271498647094440417939263681344432152994278125762379219020091836167115141365122410919668497406395464614624634644654664674684694704714724734744754764774784794804814825716687738861007113612731418157117321901207822632456265728663083330835413782403142884553482651075396569359986311663269617298764379968357872691039488
1010297059316893585628197784074917150681764926175586655655272498747104441418039273682344532162995278225772380219120101837167215151366122510929678507416405475485495505515525535545555565575585595605615625635645655665675685695706677728851006113512721417157017311900207722622455265628653082330735403781403042874552482551065395569259976310663169607297764279958356872591029487
1010397069317893685638198784174927151681864936176586755665273498847114442418139283683344632172996278325782381219220111838167315161367122610939688517426416426436446456466476486496506516526536546556566576586596606616626636646656667718841005113412711416156917301899207622612454265528643081330635393780402942864551482451055394569159966309663069597296764179948355872491019486
1010497079318893785648199784274937152681964946177586855675274498947124443418239293684344732182997278425792382219320121839167415171368122710949698527437447457467477487497507517527537547557567577587597607617627637647657667677687697708831004113312701415156817291898207522602453265428633080330535383779402842854550482351045393569059956308662969587295764079938354872391009485
1010597089319893885658200784374947153682064956178586955685275499047134444418339303685344832192998278525802383219420131840167515181369122810959708538548558568578588598608618628638648658668678688698708718728738748758768778788798808818821003113212691414156717281897207422592452265328623079330435373778402742844549482251035392568959946307662869577294763979928353872290999484
101069709932089398566820178447495715468216496617958705569527649914714444541843931368634493220299927862581238421952014184116761519137012291096971972973974975976977978979980981982983984985986987988989990991992993994995996997998999100010011002113112681413156617271896207322582451265228613078330335363777402642834548482151025391568859936306662769567293763879918352872190989483
10107971093218940856782027845749671556822649761805871557052774992471544464185393236873450322130002787258223852196201518421677152013711230109710981099110011011102110311041105110611071108110911101111111211131114111511161117111811191120112111221123112411251126112711281129113012671412156517261895207222572450265128603077330235353776402542824547482051015390568759926305662669557292763779908351872090979482
10108971193228941856882037846749771566823649861815872557152784993471644474186393336883451322230012788258323862197201618431678152113721231123212331234123512361237123812391240124112421243124412451246124712481249125012511252125312541255125612571258125912601261126212631264126512661411156417251894207122562449265028593076330135343775402442814546481951005389568659916304662569547291763679898350871990969481
10109971293238942856982047847749871576824649961825873557252794994471744484187393436893452322330022789258423872198201718441679152213731374137513761377137813791380138113821383138413851386138713881389139013911392139313941395139613971398139914001401140214031404140514061407140814091410156317241893207022552448264928583075330035333774402342804545481850995388568559906303662469537290763579888349871890959480
10110971393248943857082057848749971586825650061835874557352804995471844494188393536903453322430032790258523882199201818451680152315241525152615271528152915301531153215331534153515361537153815391540154115421543154415451546154715481549155015511552155315541555155615571558155915601561156217231892206922542447264828573074329935323773402242794544481750985387568459896302662369527289763479878348871790949479
10111971493258944857182067849750071596826650161845875557452814996471944504189393636913454322530042791258623892200201918461681168216831684168516861687168816891690169116921693169416951696169716981699170017011702170317041705170617071708170917101711171217131714171517161717171817191720172117221891206822532446264728563073329835313772402142784543481650975386568359886301662269517288763379868347871690939478
10112971593268945857282077850750171606827650261855876557552824997472044514190393736923455322630052792258723902201202018471848184918501851185218531854185518561857185818591860186118621863186418651866186718681869187018711872187318741875187618771878187918801881188218831884188518861887188818891890206722522445264628553072329735303771402042774542481550965385568259876300662169507287763279858346871590929477
10113971693278946857382087851750271616828650361865877557652834998472144524191393836933456322730062793258823912202202120222023202420252026202720282029203020312032203320342035203620372038203920402041204220432044204520462047204820492050205120522053205420552056205720582059206020612062206320642065206622512444264528543071329635293770401942764541481450955384568159866299662069497286763179848345871490919476
10114971793288947857482097852750371626829650461875878557752844999472244534192393936943457322830072794258923922203220422052206220722082209221022112212221322142215221622172218221922202221222222232224222522262227222822292230223122322233223422352236223722382239224022412242224322442245224622472248224922502443264428533070329535283769401842754540481350945383568059856298661969487285763079838344871390909475
10115971893298948857582107853750471636830650561885879557852855000472344544193394036953458322930082795259023932394239523962397239823992400240124022403240424052406240724082409241024112412241324142415241624172418241924202421242224232424242524262427242824292430243124322433243424352436243724382439244024412442264328523069329435273768401742744539481250935382567959846297661869477284762979828343871290899474
10116971993308949857682117854750571646831650661895880557952865001472444554194394136963459323030092796259125922593259425952596259725982599260026012602260326042605260626072608260926102611261226132614261526162617261826192620262126222623262426252626262726282629263026312632263326342635263626372638263926402641264228513068329335263767401642734538481150925381567859836296661769467283762879818342871190889473
10117972093318950857782127855750671656832650761905881558052875002472544564195394236973460323130102797279827992800280128022803280428052806280728082809281028112812281328142815281628172818281928202821282228232824282528262827282828292830283128322833283428352836283728382839284028412842284328442845284628472848284928503067329235253766401542724537481050915380567759826295661669457282762779808341871090879472
10118972193328951857882137856750771666833650861915882558152885003472644574196394336983461323230113012301330143015301630173018301930203021302230233024302530263027302830293030303130323033303430353036303730383039304030413042304330443045304630473048304930503051305230533054305530563057305830593060306130623063306430653066329135243765401442714536480950905379567659816294661569447281762679798340870990869471
10119972293338952857982147857750871676834650961925883558252895004472744584197394436993462323332343235323632373238323932403241324232433244324532463247324832493250325132523253325432553256325732583259326032613262326332643265326632673268326932703271327232733274327532763277327832793280328132823283328432853286328732883289329035233764401342704535480850895378567559806293661469437280762579788339870890859470
10120972393348953858082157858750971686835651061935884558352905005472844594198394537003463346434653466346734683469347034713472347334743475347634773478347934803481348234833484348534863487348834893490349134923493349434953496349734983499350035013502350335043505350635073508350935103511351235133514351535163517351835193520352135223763401242694534480750885377567459796292661369427279762479778338870790849469
10121972493358954858182167859751071696836651161945885558452915006472944604199394637013702370337043705370637073708370937103711371237133714371537163717371837193720372137223723372437253726372737283729373037313732373337343735373637373738373937403741374237433744374537463747374837493750375137523753375437553756375737583759376037613762401142684533480650875376567359786291661269417278762379768337870690839468
10122972593368955858282177860751171706837651261955886558552925007473044614200394739483949395039513952395339543955395639573958395939603961396239633964396539663967396839693970397139723973397439753976397739783979398039813982398339843985398639873988398939903991399239933994399539963997399839994000400140024003400440054006400740084009401042674532480550865375567259776290661169407277762279758336870590829467
10123972693378956858382187861751271716838651361965887558652935008473144624201420242034204420542064207420842094210421142124213421442154216421742184219422042214222422342244225422642274228422942304231423242334234423542364237423842394240424142424243424442454246424742484249425042514252425342544255425642574258425942604261426242634264426542664531480450855374567159766289661069397276762179748335870490819466
10124972793388957858482197862751371726839651461975888558752945009473244634464446544664467446844694470447144724473447444754476447744784479448044814482448344844485448644874488448944904491449244934494449544964497449844994500450145024503450445054506450745084509451045114512451345144515451645174518451945204521452245234524452545264527452845294530480350845373567059756288660969387275762079738334870390809465
10125972893398958858582207863751471736840651561985889558852955010473347344735473647374738473947404741474247434744474547464747474847494750475147524753475447554756475747584759476047614762476347644765476647674768476947704771477247734774477547764777477847794780478147824783478447854786478747884789479047914792479347944795479647974798479948004801480250835372566959746287660869377274761979728333870290799464
10126972993408959858682217864751571746841651661995890558952965011501250135014501550165017501850195020502150225023502450255026502750285029503050315032503350345035503650375038503950405041504250435044504550465047504850495050505150525053505450555056505750585059506050615062506350645065506650675068506950705071507250735074507550765077507850795080508150825371566859736286660769367273761879718332870190789463
10127973093418960858782227865751671756842651762005891559052975298529953005301530253035304530553065307530853095310531153125313531453155316531753185319532053215322532353245325532653275328532953305331533253335334533553365337533853395340534153425343534453455346534753485349535053515352535353545355535653575358535953605361536253635364536553665367536853695370566759726285660669357272761779708331870090779462
10128973193428961858882237866751771766843651862015892559155925593559455955596559755985599560056015602560356045605560656075608560956105611561256135614561556165617561856195620562156225623562456255626562756285629563056315632563356345635563656375638563956405641564256435644564556465647564856495650565156525653565456555656565756585659566056615662566356645665566659716284660569347271761679698330869990769461
10129973293438962858982247867751871776844651962025893589458955896589758985899590059015902590359045905590659075908590959105911591259135914591559165917591859195920592159225923592459255926592759285929593059315932593359345935593659375938593959405941594259435944594559465947594859495950595159525953595459555956595759585959596059615962596359645965596659675968596959706283660469337270761579688329869890759460
10130973393448963859082257868751971786845652062036204620562066207620862096210621162126213621462156216621762186219622062216222622362246225622662276228622962306231623262336234623562366237623862396240624162426243624462456246624762486249625062516252625362546255625662576258625962606261626262636264626562666267626862696270627162726273627462756276627762786279628062816282660369327269761479678328869790749459
10131973493458964859182267869752071796846652165226523652465256526652765286529653065316532653365346535653665376538653965406541654265436544654565466547654865496550655165526553655465556556655765586559656065616562656365646565656665676568656965706571657265736574657565766577657865796580658165826583658465856586658765886589659065916592659365946595659665976598659966006601660269317268761379668327869690739458
10132973593468965859282277870752171806847684868496850685168526853685468556856685768586859686068616862686368646865686668676868686968706871687268736874687568766877687868796880688168826883688468856886688768886889689068916892689368946895689668976898689969006901690269036904690569066907690869096910691169126913691469156916691769186919692069216922692369246925692669276928692969307267761279658326869590729457
10133973693478966859382287871752271817182718371847185718671877188718971907191719271937194719571967197719871997200720172027203720472057206720772087209721072117212721372147215721672177218721972207221722272237224722572267227722872297230723172327233723472357236723772387239724072417242724372447245724672477248724972507251725272537254725572567257725872597260726172627263726472657266761179648325869490719456
10134973793488967859482297872752375247525752675277528752975307531753275337534753575367537753875397540754175427543754475457546754775487549755075517552755375547555755675577558755975607561756275637564756575667567756875697570757175727573757475757576757775787579758075817582758375847585758675877588758975907591759275937594759575967597759875997600760176027603760476057606760776087609761079638324869390709455
10135973893498968859582307873787478757876787778787879788078817882788378847885788678877888788978907891789278937894789578967897789878997900790179027903790479057906790779087909791079117912791379147915791679177918791979207921792279237924792579267927792879297930793179327933793479357936793779387939794079417942794379447945794679477948794979507951795279537954795579567957795879597960796179628323869290699454
10136973993508969859682318232823382348235823682378238823982408241824282438244824582468247824882498250825182528253825482558256825782588259826082618262826382648265826682678268826982708271827282738274827582768277827882798280828182828283828482858286828782888289829082918292829382948295829682978298829983008301830283038304830583068307830883098310831183128313831483158316831783188319832083218322869190689453
10137974093518970859785988599860086018602860386048605860686078608860986108611861286138614861586168617861886198620862186228623862486258626862786288629863086318632863386348635863686378638863986408641864286438644864586468647864886498650865186528653865486558656865786588659866086618662866386648665866686678668866986708671867286738674867586768677867886798680868186828683868486858686868786888689869090679452
10138974193528971897289738974897589768977897889798980898189828983898489858986898789888989899089918992899389948995899689978998899990009001900290039004900590069007900890099010901190129013901490159016901790189019902090219022902390249025902690279028902990309031903290339034903590369037903890399040904190429043904490459046904790489049905090519052905390549055905690579058905990609061906290639064906590669451
10139974293539354935593569357935893599360936193629363936493659366936793689369937093719372937393749375937693779378937993809381938293839384938593869387938893899390939193929393939493959396939793989399940094019402940394049405940694079408940994109411941294139414941594169417941894199420942194229423942494259426942794289429943094319432943394349435943694379438943994409441944294439444944594469447944894499450
10140974397449745974697479748974997509751975297539754975597569757975897599760976197629763976497659766976797689769977097719772977397749775977697779778977997809781978297839784978597869787978897899790979197929793979497959796979797989799980098019802980398049805980698079808980998109811981298139814981598169817981898199820982198229823982498259826982798289829983098319832983398349835983698379838983998409841
10141101421014310144101451014610147101481014910150101511015210153101541015510156101571015810159101601016110162101631016410165101661016710168101691017010171101721017310174101751017610177101781017910180101811018210183101841018510186101871018810189101901019110192101931019410195101961019710198101991020010201102021020310204102051020610207102081020910210102111021210213102141021510216102171021810219102201022110222102231022410225102261022710228102291023010231102321023310234102351023610237102381023910240
Remove ads

Επεξήγηση

Οι διαγώνιες, οριζόντιες, και κάθετες γραμμές της σπείρας αντιστοιχούν στα πολυώνυμα της μορφής:[11]

όπου το β και το γ είναι σταθερές ακεραίων. Όταν το β είναι άρτιος, οι γραμμές είναι διαγώνιες, και είτε όλοι οι αριθμοί είναι περιττοί, είτε όλοι είναι άρτιοι, ανάλογα με την τιμή του γ. Έτσι δεν αποτελεί έκπληξη το ότι όλοι οι πρώτοι αριθμοί εκτός από το 2 βρίσκονται σε διαγώνιες γραμμές στην σπείρα του Ούλαμ. Η κατανόηση του γιατί κάποιες διαγώνιες γραμμές έχουν μεγαλύτερη συγκέντρωση πρώτων αριθμών σε σχέση με άλλες, εξαρτάται από την κατανόηση της συμπεριφοράς των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παραγωγής πρώτων αριθμών.[13][11][12]

Εικασία F των Χάρντυ και Λίτλγουντ

Οι Άγγλοι μαθηματικοί Γκόντφρεϊ Χάρολντ Χάρντι και Τζον Έντενσορ Λίτλγουντ σημείωσαν σε μελέτη που σύνταξαν το 1923 σχετικά με την εικασία του Γκόλντμπαχ, μια σειρά από δικές τους μαθηματικές σημειώσεις με τη μορφή εικασίας οι οποίες εάν αληθεύουν είναι δυνατό να εξηγήσουν τις ιδιότητες της σπείρας του Ούλαμ. Η θεωρία που ανέπτυξαν ονομάζεται εικασία F, και αποτελεί ειδική περίπτωση της εικασίας Μπέιτμαν-Χορν καθώς προτείνει την χρήση ενός ασυμπτωτικού μαθηματικού τύπου για τους πρώτους αριθμούς με την μορφή αχ2 + βχ + γ.[14] Οι ακτίνες που προέρχονται από την κεντρική περιοχή της σπείρας σχηματίζουν γωνίες 45° με τις οριζόντιες και κάθετες γραμμές να αντιστοιχούν στους πρώτους αριθμούς της μορφής 4χ2 + βχ + γ και το β να είναι άρτιος. Οι οριζόντιες και κάθετες γραμμές αντιστοιχούν σε αριθμούς της ίδιας μορφής με το β να είναι περιττός. Η εικασία F παρέχει έναν τύπο ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση της πυκνότητας των πρώτων αριθμών στις γραμμές αυτές, και αφήνει να εννοηθεί πως υπάρχει σημαντική διαφοροποίηση μεταξύ των πυκνοτήτων διαφορετικών γραμμών, και συγκεκριμένα πως η πυκνότητα εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την διακρίνουσα του πολυώνυμου β2 − 16γ.[15]

Thumb
Οι πρώτοι αριθμοί της μορφής 4χ2 − 2χ + 41 όπου χ = 0, 1, 2, ... επισημαίνονται με μωβ χρώμα στην διαγώνια γραμμή στο άνω μισό της εικόνας, ή αντίστοιχα, στις αρνητικές τιμές του χ.

Στα πολυώνυμα της μορφής αχ2 + βχ + γ το α, β, και γ είναι ακέραιοι και το α είναι θετικός. Εάν οι συντελεστές περιέχουν έναν κοινό παράγοντα μεγαλύτερο από 1 ή εάν η διακρίνουσα Δ = β2 − 4αγ αποτελεί τέλειο τετράγωνο, το πολυώνυμο παραγοντοποιεί και παράγει σύνθετους αριθμούς καθώς το χ παίρνει τις τιμές 0, 1, 2, ... (εκτός για τις μια ή δύο τιμές του χ όπου ένας από τους παράγοντες ισούται με 1). Επιπλέον, εάν τα α + β και το γ είναι άρτια, το πολυώνυμο παράγει μονάχα άρτιες τιμές, και είναι επομένως σύνθετο εκτός πιθανώς για την τιμή 2. Οι Χάρντυ και Λίτλγουντ πρότειναν πως εκτός από αυτές τις περιπτώσεις, το αχ2 + βχ + γ μπορεί να παράγει πρώτους αριθμούς επ' άπειρον με το χ να παίρνει τις τιμές 0, 1, 2 κτλ. Η δήλωση αυτή βασίζεται στην παλαιότερη εικασία του Μπουνυακόφσκυ και παραμένει ανοικτή. Επιπλέον, οι Χάρντυ και Λίτλγουντ πρότειναν πως ο αριθμός P(ν) των πρώτων αριθμών της μορφής αχ2 + βχ + γ και μικρότερο από το ν:[15]

όπου το A εξαρτάται από τα α, β και γ, αλλά όχι από το ν. Σύμφωνα με το θεώρημα πρώτων αριθμών, στον τύπο αυτό όταν το A ισούται με 1 τότε επιστρέφει τον ασύμπτωτο αριθμό πρώτων αριθμών μικρότερων από ν ο οποίος αναμένεται σε μια τυχαία ομάδα αριθμών η οποία έχει την ίδια πυκνότητα με την ομάδα αριθμών της μορφής αχ2 + βχ + γ. Καθώς όμως το A μπορεί να έχει τιμή μεγαλύτερη ή μικρότερη από το 1, μερικά πολυώνυμα, σύμφωνα με την εικασία, θα είναι εξαιρετικά πλούσια ως προς την ύπαρξη πρώτων αριθμών, ενώ άλλα εξαιρετικά φτωχά. Ένα πολυώνυμο με ασυνήθιστα μεγάλη συγκέντρωση πρώτων αριθμών είναι το 4χ2 − 2χ + 41 το οποίο οπτικά αποτυπώνεται σε γραμμή στην σπείρα Ούλαμ. Η τιμή του A για το συγκεκριμένο πολυώνυμο αντιστοιχεί σε 6,6, κάτι που σημαίνει πως οι αριθμοί που παράγει είναι σχεδόν 7 φορές πιθανότερο να αποτελούν πρώτους αριθμούς παρά σύνθετους σύμφωνα με την εικασία. Το πολυώνυμο αυτό σχετίζεται με το αντίστοιχο του Όιλερ το οποίο ήταν χ2 − χ + 41 αντικαθιστώντας το χ με 2χ, ή εναλλακτικά διαθέτοντας μόνο άρτιους αριθμούς για το χ. Ο πρωτότυπος υπολογισμός όπως ορίστηκε από τους Χάρντυ και Λίτλγουντ για την σταθερά Α είναι:[15]

ο παραπάνω υπολογισμός απλοποιείται ως:

, όπου το διατρέχει όλους τους πρώτους αριθμούς, και το — είναι το σύνολο των μηδενικών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης μόντουλο p.

Απλοποιείται περαιτέρω ως .

Το σύμβολο αντιστοιχεί στο σύμβολο Λεζάντρ. Μια δευτεροβάθμια εξίσωση με A ≈ 11,3, ανακαλύφθηκε από τους Jacobson και Williams το 2003.[16][17]

Remove ads

Παραλλαγές

Αρχίζοντας με την τριγωνική παραλλαγή του Λώρενς Μονρώ Κλάουμπερ από το 1932, η μελέτη του περιγράφει τον σχηματισμό τριγώνου όπου η κάθε γραμμή ν περιέχει τους αριθμούς (ν  −  1)2 + 1 μέσω n2. Όπως και στην σπείρα του Ούλαμ παράγονται πρώτοι αριθμοί που βρίσκονται σε ευθείες γραμμές. Οι κάθετες γραμμές αντιστοιχούν στην μορφή k2 − k + M.[11]

Μια άλλη παραλλαγή, κυκλική, είναι αυτή που προτάθηκε από τον Σακς το 1994. Στην σπείρα του Σακς, οι μη αρνητικοί αριθμοί τοποθετούνται επί της σπείρας του Αρχιμήδη αντί για την τετράγωνη σπείρα του Ούλαμ, και η απόσταση τους είναι τέτοια ώστε ένα τέλειο τετράγωνο εμφανίζεται σε κάθε κύκλο επανάληψης (στην Ούλαμ εμφανίζονται 2 ανά κύκλο επανάληψης). Το πολυώνυμο x2 − x + 41 εμφανίζεται ως μια καμπύλη όπου το χ παίρνει τις τιμές 0, 1, 2, κτλ. Η καμπύλη αυτή προσεγγίζει ασυμπτωτικά μια οριζόντια γραμμή στο αριστερό μισό της σπείρας.[18]

Remove ads

Παραπομπές

Σχετική βιβλιογραφία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads