Ομάδα συμμετρίας

Η ομάδα συμμετρίας^[1][2][3] ενός αντικειμένου (εικόνας, σήματος, κ.τ.λ.), στην αφηρημένη άλγεβρα, είναι η ομάδα των μετασχηματισμών για τους οποίους το αντικείμενο είναι αμετάβλητο με πράξη τη σύνθεση. Είναι μια υποομάδα της ομάδας ισομετρίας του χώρου αναφοράς. Όπως διατυπώθηκε ως τώρα, η αναφερόμενη έννοια αφορά στην Ευκλείδεια γεωμετρία, αλλά στην πραγματικότητα η έννοια μπορεί επίσης να μελετηθεί σε ευρύτερα πλαίσια.

Ένα τετράεδρο μπορςί να τοποθετηθεί σε 12 διακριτές θἐσεις με την περιστροφή του μόνο. Αυτές απεικονίζονται στην παραπάνω μορφή κυκλικού γραφήματος, μαζί με την περιστροφή των 180° (άκρο, μπλε βέλη) και αυτό των 120° (κορυφή, κόκκινα βέλη) που μετατίθεται το τετράεδρο διαμέσου των διακριτών θέσεων. Οι 12 περιστροφές σχηματίζουν τη «συμμετρία ομάδας περιστροφής» που εικονίζεται.

Προλεγόμενα

Τα «αντικεἰμενα» μπορεί να είναι γεωμετρικά σχήματα, εικόνες και μοτίβα, όπως τα μοτίβα σε ταπετσαρίες. Ο ορισμός μπορεί να γίνει περισσότερο πρακτικός αν εξειδικεύσουμε τι ακριβώς εννοούμε με τους όρους «εικόνα» ή «μοτίβο», λόγου χάρη. Είναι μια συνάρτηση με σύνολο ορισμού θέσεις και πεδίο τιμών ένα σύνολο από χρώματα. Για τη συμμετρία των φυσικών αντικειμένων, μπορεί να χρειάζεται να ληφθεί υπόψη και η φυσική σύνθεση του αντικειμένου στους υπολογισμούς. Η ομάδα ισομμετρίας του χώρου επάγει μια ομάδα δράσεων σε αντικείμενα μέσα στο χώρο αυτό.

Η παραπάνω ομάδα ονομάζεται μερικές φορές πλήρης ομάδα συμμετρίας του Χ για να τονιστεί ότι περιλαμβάνει ισομετρίες που αντιστρέφουν τον προσανατολισμό (αντανακλάσεις, ολισθαίνουσες αντανακλάσεις και ακατάλληλες περιστροφές), εφόσον αυτές οι ισομετρίες απεικονίζουν το συγκεκριμένο “'Χ”' στον εαυτό του. Η υποομάδα των συμμετριών που διατηρούν τον προσανατολισμό (μετατοπίσεις, περιστροφές και συνθέσεις αυτών) ονομάζεται γνήσια ομάδα συμμετρίας της. Ένα αντικείμενο είναι χειρόμορφο όταν δεν έχει συμμετρίες που αντιστρέφουν τον προσανατολισμό, έτσι ώστε η κατάλληλη ομάδα συμμετρίας του να είναι ίση με την πλήρη ομάδα συμμετρίας του.^[4]

Οποιαδήποτε ομάδα συμμετρίας της οποίας τα στοιχεία έχουν ένα κοινό σταθερό σημείο, το οποίο ισχύει εάν η ομάδα είναι πεπερασμένη ή το σχήμα είναι περιορισμένο, μπορεί να αναπαρασταθεί ως υποομάδα της ορθογώνιας ομάδας O(n) επιλέγοντας την αρχή να είναι ένα σταθερό σημείο. Η κατάλληλη ομάδα συμμετρίας είναι τότε μια υποομάδα της ειδικής ορθογώνιας ομάδας SO(n) και ονομάζεται ομάδα περιστροφής του σχήματος.

Σε μια διακριτή ομάδα συμμετρίας, τα σημεία που είναι συμμετρικά σε ένα δεδομένο σημείο δεν συσσωρεύονται προς ένα οριακό σημείο. Δηλαδή, κάθε τροχιά της ομάδας (οι εικόνες ενός δεδομένου σημείου κάτω από όλα τα στοιχεία της ομάδας) σχηματίζει ένα διακριτό σύνολο. Όλες οι πεπερασμένες ομάδες συμμετρίας είναι διακριτές.

Οι διακριτές ομάδες συμμετρίας διακρίνονται σε τρεις τύπους: (1) πεπερασμένες ομάδες σημείων, οι οποίες περιλαμβάνουν μόνο περιστροφές, ανακλάσεις, αναστροφές και περιστροφικές αντιστροφές - δηλαδή, τις πεπερασμένες υποομάδες του O(n)- (2) άπειρες ομάδες πλέγματος, οι οποίες περιλαμβάνουν μόνο μετατοπίσεις- και (3) άπειρες ομάδες χώρου που περιέχουν στοιχεία και των δύο προηγούμενων τύπων, και ίσως και επιπλέον μετασχηματισμούς όπως οι μετατοπίσεις κοχλιών και οι ανακλάσεις ολίσθησης. Υπάρχουν επίσης συνεχείς ομάδες συμμετρίας (ομάδες Λι), οι οποίες περιέχουν περιστροφές αυθαίρετα μικρών γωνιών ή μετατοπίσεις αυθαίρετα μικρών αποστάσεων. Ένα παράδειγμα είναι η O(3), η ομάδα συμμετρίας μιας σφαίρας. Οι ομάδες συμμετρίας των ευκλείδειων αντικειμένων μπορούν να ταξινομηθούν πλήρως ως υποομάδες της ευκλείδειας ομάδας E(n) (η ομάδα ισομετρίας του Rⁿ).

Βιβλιογραφία

• Burns, G.· Glazer, A. M. (1990). Space Groups for Scientists and Engineers (2nd έκδοση). Boston: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-145761-3.
• Clegg, W (1998). Crystal Structure Determination (Oxford Chemistry Primer). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-855901-1.
• O'Keeffe, M.· Hyde, B. G. (1996). Crystal Structures; I. Patterns and Symmetry. Washington, DC: Mineralogical Society of America, Monograph Series. ISBN 0-939950-40-5.
• Miller, Willard Jr. (1972). Symmetry Groups and Their Applications. New York: Academic Press. OCLC 589081. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 17 Φεβρουαρίου 2010. Ανακτήθηκε στις 28 Σεπτεμβρίου 2009.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Symmetry στο Wikimedia Commons