Ορθογώνιο τρίγωνο

Στην γεωμετρία, ορθογώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο του οποίου μία γωνία είναι ορθή. Οι πλευρές που περιέχουν την ορθή γωνία λέγονται κάθετες πλευρές και η απέναντί της λέγεται υποτείνουσα του ορθογώνιου τριγώνου.^{[1]:62[2]:55[3][4]}

Ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία την Α. Η πλευρά ${\displaystyle \alpha }$ ονομάζεται υποτείνουσα και οι πλευρές ${\displaystyle \beta }$ και ${\displaystyle \gamma }$ είναι οι δύο κάθετες.

Ιδιότητες

• Οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές.
• Το ορθόκεντρο του τριγώνου ταυτίζεται με την κορυφή της ορθής γωνίας του.
• Η διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου που άγεται από την κορυφή της ορθής γωνίας ισούται με το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Απόδειξη

Η διάμεσος της ορθής γωνίας. (${\displaystyle \Rightarrow }$) Έστω ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ ένα ορθογώνιο τρίγωνο με την γωνία ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$ ορθή και ${\displaystyle \mathrm {M} }$ το μέσο της υποτείνουσας. Αν ${\displaystyle \mathrm {\Delta } }$ είναι το συμμετρικό του ${\displaystyle \mathrm {A} }$ ως προς το ${\displaystyle \mathrm {M} }$, τότε το τετράπλευρο ${\displaystyle \mathrm {AB\Delta \Gamma } }$ έχει την γωνία ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$ ορθή και τις διαγωνίους του να διχοτομούνται, άρα είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Συνεπώς, έχουμε ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } =\mathrm {B\Gamma } }$, άρα ${\displaystyle 2\mathrm {AM} =\mathrm {B\Gamma } }$, και τελικά ${\displaystyle \mathrm {AM} =\mathrm {B\Gamma } /2}$. (${\displaystyle \Leftarrow }$) Έστω ένα τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ με διάμεσο ${\displaystyle \mathrm {AM} }$ τέτοια ώστε ${\displaystyle \mathrm {AM} =\mathrm {B\Gamma } /2}$. Θα αποδείξουμε ότι η γωνία ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$ είναι ορθή. Αν ${\displaystyle \mathrm {\Delta } }$ είναι το συμμετρικό του ${\displaystyle \mathrm {A} }$ ως προς το ${\displaystyle \mathrm {M} }$, τότε στο τετράπλευρο ${\displaystyle \mathrm {AB\Delta \Gamma } }$ οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και είναι ίσες. Συνεπώς το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και άρα η γωνία ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$ είναι ορθή.

Περιγεγραμμένος κύκλος ορθογωνίου τριγώνου

• Από την προηγούμενη ιδιότητα προκύπτει ότι το μέσο της υποτείνουσας ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }$ του ορθογωνίου τριγώνου ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, ο οποίος έχει ακίνα ${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } }$.

• Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ με την γωνία ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$ ορθή ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου έχει ακτίνα ${\textstyle \rho ={\tfrac {\beta \cdot \gamma }{\alpha +\beta +\gamma }}}$ και το έγκεντρο του τριγώνου έχει συντεταγμένες ${\displaystyle (\rho ,\rho )}$ στο ορθοκανονικό σύστημα με αρχή το ${\displaystyle \mathrm {A} }$ και άξονες τις ευθείες των πλευρών ${\displaystyle \mathrm {AB} }$ και ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }$.

Απόδειξη

Το έγκεντρο του τριγώνου και ο διαχωρισμός του σε επιμέρους τρίγωνα. Έστω ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ ένα ορθογώνιο τρίγωνο με την γωνία ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$ ορθή και ${\displaystyle \mathrm {I} }$ το έγκεντρο του τριγώνου. Το σημείο ${\displaystyle \mathrm {I} }$ απέχει από τις τρείς πλευρές του τριγώνου απόσταση ίση με ${\displaystyle \mathrm {\rho } }$. Ενώνουμε το ${\displaystyle \mathrm {I} }$ με τις τρεις κορυφές του τριγώνου και έτσι το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων ${\displaystyle \mathrm {ABI} }$, ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma I} }$ και ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma I} }$. Επομένως ${\displaystyle \mathrm {E_{A\mathrm {B} \Gamma }} =\mathrm {E_{A\mathrm {B} I}} +\mathrm {E_{\mathrm {B} \Gamma I}} +\mathrm {E_{A\Gamma I}} }$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot \mathrm {A\Gamma } &={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot \rho +{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {B\Gamma } \cdot \rho +{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma A} \cdot \rho \\&={\frac {1}{2}}\cdot (\mathrm {AB} +\mathrm {B\Gamma } +\mathrm {\Gamma A} )\cdot \rho .\end{aligned}}}$ Αναδιατάσσοντας τα δύο μέλη, λαμβάνουμε ότι ${\displaystyle \rho ={\frac {\mathrm {AB} \cdot \mathrm {A\Gamma } }{\mathrm {AB} +\mathrm {B\Gamma } +\mathrm {\Gamma A} }}={\frac {\beta \cdot \gamma }{\alpha +\beta +\gamma }}.}$

• Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ με την γωνία ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$ ορθή το άθροισμα των δύο καθέτων πλευρών του ισούται με την υποτείνουσα αυξημένη κατά την διάμετρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Δηλαδή ${\displaystyle \beta +\gamma ={\alpha +2\rho }}$.^[5]

Απόδειξη

Το έγκεντρο του τριγώνου και ο διαχωρισμός του σε επιμέρους τρίγωνα. Έστω ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ ένα ορθογώνιο τρίγωνο με την γωνία ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$ ορθή και ${\displaystyle \mathrm {\Delta ,E,Z} }$ τα σημεία επαφής των πλευρών ${\displaystyle \mathrm {AB} }$, ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }$, ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }$ με την περιφέρεια του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Θα αποδείξουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {A} \Gamma +\mathrm {A} \mathrm {B} ={\mathrm {B} \Gamma +2\rho }}$, όπου ${\displaystyle \mathrm {\rho } }$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Το σημείο ${\displaystyle \mathrm {I} }$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου άρα ισαπέχει από τις τρείς πλευρές του τριγώνου απόσταση ίση με ${\displaystyle \mathrm {\rho } }$. Ενώνουμε το ${\displaystyle \mathrm {I} }$ με τα σημεία επαφής ${\displaystyle \mathrm {\Delta ,Z} }$. Παρατηρούμε ότι ${\displaystyle \mathrm {B\Delta =BE} }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Gamma Z=\Gamma E} }$ ως εφαπτόμενα τμήματα που άγονται σε περιφέρεια από τα σημεία ${\displaystyle \mathrm {B,\Gamma } }$. Επίσης το τετράπλευρο ${\displaystyle \mathrm {A\Delta IZ} }$ έχει τις γωνίες του ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$, ${\displaystyle {\hat {\mathrm {\Delta } }}}$, ${\displaystyle {\hat {\mathrm {Z} }}}$ ορθές, άρα είναι τετράγωνο και έτσι προκύπτει ότι ${\displaystyle \mathrm {I\Delta =IZ=A\Delta =AZ=\rho } }$. Επομένως, ${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {A\Gamma +A\mathrm {B} }}&=\mathrm {A\Delta +\Delta \Gamma +AZ+Z\mathrm {B} } \\&=\mathrm {\rho +E\Gamma +EB+\rho } \\&=\mathrm {E\Gamma +EB+2\rho } \\&=\mathrm {B\Gamma +2\rho } .\end{aligned}}}$

Μετρικές σχέσεις

Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ με την γωνία ${\displaystyle \mathrm {\hat {A}} }$ ορθή και το ύψος ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } }$.

Τότε, ισχύουν οι εξής μετρικές σχέσεις:^{[1]: 192-197 [2]: 69-71 [3]: 109-113 [4]: 363-369}

• ${\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=\mathrm {\Delta B} \cdot \mathrm {B\Gamma } }$ και ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } ^{2}=\mathrm {\Delta \Gamma } \cdot \mathrm {B\Gamma } }$.

Απόδειξη

Τα τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Delta BA} }$ είναι όμοια καθότι έχουν δύο γωνίες ίσες (την γωνία ${\displaystyle {\hat {\rm {B}}}}$ και μία ορθή). Επομένως, ${\displaystyle {\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {\Delta B} }}={\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\mathrm {AB} }}}$. Εφαρμόζοντας χιαστί γινόμενα, έχουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=\mathrm {\Delta B} \cdot \mathrm {B\Gamma } .}$ Αντίστοιχα, τα τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Delta \Gamma A} }$ είναι όμοια. Επομένως, ${\displaystyle {\frac {\mathrm {A\Gamma } }{\mathrm {\Delta \Gamma } }}={\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\mathrm {A\Gamma } }}}$. Εφαρμόζοντας χιαστί γινόμενα, έχουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } ^{2}=\mathrm {\Delta \Gamma } \cdot \mathrm {B\Gamma } .}$

• (Πυθαγόρειο Θεώρημα) ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } ^{2}=\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}}$ (ή αντίστοιχα ${\displaystyle \alpha ^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}}$). Ισχύει και το αντίστροφο.

Απόδειξη

Προσθέτωντας τις προηγούμενες δύο σχέσεις έχουμε ότι ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}&=\mathrm {\mathrm {B} \Delta } \cdot \mathrm {\mathrm {B} \Gamma } +\mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {\mathrm {B} \Gamma } \\&=(\mathrm {\mathrm {B} \Delta } +\mathrm {\Gamma \Delta } )\cdot \mathrm {\mathrm {B} \Gamma } \\&=\mathrm {\mathrm {B} \Gamma } \cdot \mathrm {\mathrm {B} \Gamma } \\&=\mathrm {\mathrm {B} \Gamma } ^{2}.\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Delta \Gamma } =\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {\Delta B} }$.

Απόδειξη

Διαιρούμε κατά μέλη τις δύο ισότητες της πρώτης Μετρικής σχέσης και έχουμε: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {A\mathrm {B} } ^{2}}{\mathrm {A\Gamma } ^{2}}}={\frac {\mathrm {\Delta B} \cdot \mathrm {\mathrm {B} \Gamma } }{\mathrm {\Delta \Gamma } \cdot \mathrm {B\Gamma } }}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {A\mathrm {B} } ^{2}}{\mathrm {A\Gamma } ^{2}}}={\frac {\mathrm {\Delta B} }{\mathrm {\Delta \Gamma } }}}$ Πολλαπλασιάζοντας χιαστί, καταλήγουμε ότι: ${\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Delta \Gamma } =\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {\Delta B} }$.

• ${\displaystyle {\upsilon }_{a}^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}=\mathrm {B\Delta } \cdot \mathrm {\Gamma \Delta } }$.

Απόδειξη

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {A\Delta \Gamma }}}$ έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {{\hat {\Delta A\Gamma }}=90^{\circ }-{\hat {\Gamma }}={\hat {B}}}}}$. Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {A\Delta B} }$ και ${\displaystyle \mathrm {A\Delta \Gamma } }$ είναι όμοια. Επομένως, ${\displaystyle {\frac {\mathrm {A\Delta } }{\mathrm {B\Delta } }}={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } }{\mathrm {A\Delta } }}}$ Πολλαπλασιάζοντας χιαστί, καταλήγουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } ^{2}=\mathrm {B\Delta } \cdot \mathrm {\Gamma \Delta } .}$

• ${\displaystyle \mathrm {AB} \cdot \mathrm {A\Gamma } =\mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {B\Gamma } }$.

Απόδειξη

Το εμβαδόν ενός τριγώνου δίνεται από τον τύπο ${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}}).}$ Επομένως, ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot \mathrm {A\Gamma } ={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {B\Gamma } }$ Συνεπώς, ${\displaystyle \mathrm {AB} \cdot \mathrm {A\Gamma } =\mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {B\Gamma } }$.

• ${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {A} \mathrm {B} ^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {A} \Gamma ^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {A\Delta } ^{2}}}}$.

Απόδειξη

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\mathrm {AB} ^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {A\Gamma } ^{2}}}&={\frac {\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}}{\mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {A\Gamma } ^{2}}}\\&={\frac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{\mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {A\Gamma } ^{2}}}\quad {\text{(από το Πυθαγόρειο θεώρημα)}}\\&={\frac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{(\mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {B\Gamma } )^{2}}}\quad {\text{(από την προηγούμενη πρόταση)}}\\&={\frac {1}{\mathrm {A\Delta } ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των κάθετων πλευρών, δηλαδή

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot \mathrm {A\Gamma } .}$

Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων

Ακολουθούν τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων:^[1]: 62-63

• Κριτήριο πλευράς-πλευράς: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα.

Απόδειξη

Κριτήριο πλευράς-πλευράς. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έχουν δύο κάθετες πλευρές ίσες μία προς μία. Στην περίπτωση αυτή θα είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, με δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία ίση ως ορθή. Έχουν μία κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίσες μία προς μία. Αρκεί να δείξουμε ότι οι αντίστοιχες περιεχόμενες (οξείες) γωνίες θα είναι ίσες και τότε από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς θα είναι ίσα. Έστω λοιπόν δύο ορθογώνια τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Delta EZ} }$, τέτοια ώστε ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {\Delta } }}=90^{\circ }}$, ${\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {\Delta E} }$ και ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } =\mathrm {EZ} }$ (η ορθή γωνία σε κάθε τρίγωνο δεν μπορεί να είναι περιεχόμενη της κάθετης και της υποτείνουσας). Αρκεί να δείξουμε ότι ${\displaystyle {\rm {{\hat {B}}={\hat {E}}}}}$ (ισότητα γωνιών). Στις προεκτάσεις των ${\displaystyle \mathrm {AB} }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Delta E} }$ προς τα ${\displaystyle \mathrm {A} }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Delta } }$, παίρνουμε σημεία ${\displaystyle {\rm {K}}}$ και ${\displaystyle \Lambda }$ τέτοια ώστε ${\displaystyle \mathrm {AK} =\mathrm {AB} }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Delta \Lambda } =\mathrm {\Delta E} }$ αντίστοιχα. Από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς έχουμε τις ισότητες του ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ με το ${\displaystyle \mathrm {AK\Gamma } }$ και του ${\displaystyle \mathrm {\Delta EZ} }$ με το ${\displaystyle \mathrm {\Delta \Lambda Z} }$. Συνεπώς έχουμε ${\displaystyle \mathrm {K\Gamma } =\mathrm {B\Gamma } =\mathrm {EZ} =\mathrm {\Lambda Z} }$. Από το κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς τότε τα τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {\Gamma KB} }$ και ${\displaystyle \mathrm {Z\Lambda E} }$ είναι ίσα, από όπου έχουμε ${\displaystyle {\rm {{\hat {B}}={\hat {E}}}}}$ (ισότητα γωνιών).

• Κριτήριο πλευράς-προσκείμενης οξείας: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση τότε είναι ίσα.

Απόδειξη

Κριτήριο πλευράς-προσκείμενης οξείας. Έστω δύο ορθογώνια τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Delta EZ} }$ με ${\displaystyle {\rm {{\hat {A}}={\hat {\Delta }}=90^{\circ }}}}$, ${\displaystyle {\rm {{\hat {B}}={\hat {E}}}}}$ και ίσες υποτείνουσες ή ίσες κάθετες πλευρές. Οι γωνίες ${\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\hat {Z}}}}$ είναι ίσες ως συμπληρωματικές των ίσων γωνιών ${\displaystyle {\rm {\hat {B}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\hat {E}}}}$ αντίστοιχα. Συνεπώς, τα δύο τρίγωνα έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, και μία αντίστοιχη πλευρά ίση. Τότε, σύμφωνα με το κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας τα δύο τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Delta EZ} }$ είναι ίσα.

Ειδικά ορθογώνια τρίγωνα

Με γωνίες 30°-60°-90°

Ορθογώνιο τρίγωνο με οξείες γωνίες 30° και 60°. Το ${\displaystyle \mathrm {M} }$ είναι το μέσο της υποτείνουσας.

Το ορθογώνιο τρίγωνο με οξείες γωνίες 30° και 60°, έχει τις εξής ιδιότητες:

• Η κάθετη πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την γωνία 30° είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.
• Το τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AMB} }$ είναι ισόπλευρο.
• Τα μήκη των πλευρών είναι ανάλογα στα ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ και ${\displaystyle 2}$.

Ορθογώνιο και ισοσκελές

Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ.

Το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:

• Οι οξείες γωνίες του είναι 45°.
• Αν ${\displaystyle x}$ είναι το μήκος των δύο κάθετων πλευρών τότε η υποτείνουσα έχει μήκος ${\displaystyle x{\sqrt {2}}}$.
• Το εμβαδόν του είναι ${\displaystyle \mathrm {E} ={\tfrac {1}{2}}x^{2}}$.
• Προκύπτει ως το μισό ενός τετραγώνου (το ${\displaystyle \mathrm {AB\Delta \Gamma } }$ στο σχήμα).

Τρίγωνο Κέπλερ

Τρίγωνο Κέπλερ με τα τετράγωνα των πλευρών του.

Κύριο λήμμα: Τρίγωνο του Κέπλερ

Το τρίγωνο του Κέπλερ είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου τα μήκη των πλευρών είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Προκύπτει ότι τα μήκη των πλευρών του είναι ανάλογα ως προς τα ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$ και ${\displaystyle \varphi }$, όπου ${\displaystyle \varphi }$ είναι ο χρυσός λόγος.

Περαιτέρω θέματα

Τριγωνομετρία

Ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία ${\displaystyle \varphi }$.

Το ορθογώνιο τρίγωνο χρησιμοποιείται στον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας ${\displaystyle \varphi }$. Πιο συγκεκριμένα, για την γωνία ${\displaystyle \varphi \in (0,90^{\circ })}$, ισχύει ότι

${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {\text{απέναντι κάθετη}}{\text{υποτείνουσα}}}}$

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\text{προσκείμενη κάθετη}}{\text{υποτείνουσα}}}}$

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {\text{απέναντι κάθετη}}{\text{προσκείμενη κάθετη}}}}$.

Πυθαγόρειες τριάδες

Πυθαγόρειες τριάδες ονομάζονται οι τριάδες ακεραίων αριθμών ${\displaystyle (a,b,c)}$ τέτοιες ώστε ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$.
Για παράδειγμα η τριάδα ${\displaystyle (3,4,5)}$ είναι Πυθαγόρεια τριάδα διότι: ${\displaystyle {3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2}}}$.
Αλλά η τριάδα ${\displaystyle (7,8,9)}$ δεν είναι Πυθαγόρεια τριάδα διότι: ${\displaystyle \mathrm {7^{2}+8^{2}=49+64=113} }$ ≠ ${\displaystyle {9^{2}=81}}$.

Σχέση με το ψευδο-ορθογώνιο τρίγωνο

Το ψεύδο-ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ και το σχετικό του ορθογώνιο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma '}}}$. Έχουν ${\displaystyle {\rm {AB=AB'}}}$, την ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}$ κοινή και το ύψος ${\displaystyle {\rm {A\Delta }}}$ κοινό.

Ένα τρίγωνο λέγεται ψευδοορθογώνιο αν η διαφορά δύο γωνιών του είναι μία ορθή γωνία, για παράδειγμα αν ${\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=90^{\circ }}$. Παίρνει αυτή την ονομασία, καθώς υπάρχει ένα ορθογώνιο ${\displaystyle {\rm {AB'\Gamma }}}$ με το οποίο έχει δύο πλευρές ίσες (${\displaystyle {\rm {AB=AB'}}}$ και την ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}$ κοινή) και κοινό ύψος (το ${\displaystyle {\rm {A\Delta }}}$). Το ψευδοορθογώνιο και το ορθογώνιο είναι τα μόνα τρίγωνα που ικανοποιούν τις παρακάτω μετρικές σχέσεις:^{[1]: 192-197}

• ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } ^{2}=\mathrm {B\Delta } \cdot \mathrm {\Gamma \Delta } }$,
• ${\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } =\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {B\Delta } }$, και
• ${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {A} \mathrm {B} ^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {A} \Gamma ^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {A\Delta } ^{2}}}}$.

Σπείρα Θεόδωρου

Η σπείρα του Θεόδωρου.

Η σπείρα του Θεοδώρου είναι μία σπείρα που κατασκευάζεται από ορθογώνια τρίγωνα. Το πρώτο τρίγωνο είναι ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κάθετη πλευρά μήκους ${\displaystyle 1}$ (και υποτείνουσας μήκους ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$). Το επόμενο τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του πρώτου τριγώνου και άλλη κάθετη πλευρά μήκους ${\displaystyle 1}$. Επομένως, έχει υποτεινουσα μήκους ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$. Στην γενική περίπτωση, το ${\displaystyle (n+1)}$-οστό τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του προηγούμενου τριγώνου και μία άλλη μήκους ${\displaystyle 1}$. Επαγωγικά προκύπτει ότι το μήκος της υποτείνουσάς του είναι

${\textstyle {\sqrt {{\sqrt {n}}^{2}+1^{2}}}={\sqrt {n+1}}}$.

Πλακοστρώσεις

Τμήμα της πλακόστρωσης pinwheel.

Τα ορθογώνια τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε πλακοστρώσεις του επιπέδου. Για παράδειγμα, η πλακόστρωση pinwheel δίνει έναν μη-περιοδικό τρόπο να πλακοστρωθεί το επίπεδο.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή για την επίλυση ορθογωνίου τριγώνου
• Διαδραστική εφαρμογή για τις μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο

Ελληνικά άρθρα

• Κηπουρός Χρήστος (1991). «Υπολογισμός στοιχείων ορθογωνίου τριγώνου». Ευκλείδης Β΄ (4): 21-24. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3421.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Domenico, Angelo Di (Ιουλίου 2005). «89.41 The golden ratio—the right triangle—and the arithmetic, geometric, and harmonic means». The Mathematical Gazette 89 (515): 261–261. doi:10.1017/S0025557200177769. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2005-07_89_515/page/261.
• Brown, Peter G. (Μαρτίου 2011). «Rays in a right triangle». The Mathematical Gazette 95 (532): 126–127. doi:10.1017/S0025557200002552. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2011-03_95_532/page/126.
• Darvasi, Gyula (2003). «A Unique Property of Right-Angled Triangles». The Mathematical Gazette 87 (508): 51-59. https://www.jstor.org/stable/3620564.
• Hiroshi Okumura; Masayuki Watanabe (2006). «90.26 A Right Triangle Inscribed in a Similar Right Triangle». The Mathematical Gazette 90 (517): 138-141. https://www.jstor.org/stable/3621439.
• Tien, Li C. (Απριλίου 2009). «Right Triangle». The Mathematical Intelligencer 31 (2): 50–50. doi:10.1007/s00283-009-9045-y.

Δείτε επίσης

• Τρίγωνο
• Τριγωνομετρία
• Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
• Πυθαγόρεια τριάδα
• Ψεύδο-ορθογώνιο τρίγωνο