Άλγεβρα φον Νόιμαν
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, μια άλγεβρα φον Νόιμαν ή W*-άλγεβρα είναι μία *-άλγεβρα φραγμένων τελεστών σε ένα χώρο Χίλμπερτ, κλειστό στην ασθενή τοπολογία τελεστών και περιέχει τον ταυτοτικό τελεστή. Την είχε αρχικά εισαγάγει ο Τζον φον Νόιμαν, υποκινούμενος από τη μελέτη του στους μοναδιαίους τελεστές, στις αναπαραστάσεις ομάδας, στην εργοδική θεωρία και στη κβαντική μηχανική. Το διπλό αντιμεταθετικό θεώρημά του δείχνει ότι ο αναλυτικός ορισμός είναι ισοδύναμος με ένα καθαρά αλγεβρικό ορισμό ως άλγεβρα συμμετριών.
Υπάρχουν δυο βασικά παραδείγματα των αλγεβρών φον Νόιμαν. Ο δακτύλιος L∞(R) των ουσιωδώς φραγμένων μετρήσιμων συναρτήσεων στον πραγματικό άξονα, είναι μια αντιμεταθετική άλγεβρα φον Νόιμαν, η οποία ενεργεί με σημειακό πολλαπλασιασμό στο χώρο Χίλμπερτ L2(R) των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. Η άλγεβρα Β(Η) όλων των φραγμένων τελεστών σε ένα χώρο Χίλμπερτ H είναι μια άλγεβρα φον Νόιμαν μη-αντιμεταθετική, αν ο χώρος Χίλμπερτ έχει διάσταση τουλάχιστον 2.
Οι άλγεβρες φον Νόιμαν μελετήθηκαν για πρώτη φορά από τον von Neumann (1929)· αυτός και ο Φράνσις Μάρεϊ (Francis Joseph Murray) ανέπτυξαν τη βασική θεωρία, σύμφωνα με το αρχικό όνομα των δακτυλίων των τελεστών, σε μια σειρά από εργασίες που γράφτηκαν στην δεκαετία του 1930 και του 1940 (F.J. Murray & J. von Neumann 1938, 1940, 1943, 1949) και επανεκδόθηκαν στα άπαντα του von Neumann (1961).
Οι αρχικές αναφορές του φον Νόιμαν μπορούν να βρεθούν σε διαδικτυακές σημειώσεις του Jones (2003) και του Wassermann (1991), καθώς και στα βιβλία των Dixmier (1981), Schwartz (1967), Blackadar (2005) και Sakai (1971). Η τρίτομη μελέτη του Takesaki (1979) δίνει μια εγκυκλοπαιδική αναφορά της θεωρίας. Το βιβλίο του Connes (1994) ασχολείται με πιο επιτηδευμένα θέματα.