Μαθηματική λογική
From Wikipedia, the free encyclopedia
Η μαθηματική λογική είναι ένας κλάδος των μαθηματικών και της επιστήμης υπολογιστών, με στενή σχέση και με τη φιλοσοφική λογική.[1] Το πεδίο περιλαμβάνει τη μαθηματική μελέτη της λογικής και τις εφαρμογές της τυπικής λογικής σε άλλες περιοχές των μαθηματικών. Οι βασικότερες ιδέες στη μαθηματική λογική περιλαμβάνουν τη μελέτη της εκφραστικής ισχύος των τυπικών συστημάτων και της συμπερασματικής ισχύος των συστημάτων τυπικών αποδείξεων.
Η μαθηματική λογική διαιρείται συχνά στα υποπεδία θεωρία συνόλων, θεωρία μοντέλων, θεωρία αναδρομής, θεωρία αποδείξεων και κατασκευαστικά μαθηματικά. Οι περιοχές αυτές μοιράζονται βασικά αποτελέσματα πάνω στη λογική, και ειδικά στην λογική πρώτου βαθμού και την ορισιμότητα.
Από τη γέννησή της, η μαθηματική λογική έχει συμβάλλει αλλά και ωθείται από τη μελέτη των θεμελίων των μαθηματικών. Η μελέτη αυτή ξεκίνησε στο τέλος του 19ου αιώνα με την ανάπτυξη των αξιωματικών πλαισίων για τη γεωμετρία, την αριθμητική και την ανάλυση. Στην αρχή του 20ού αιώνα διαμορφώθηκε από το πρόγραμμα του Ντάβιντ Χίλμπερτ για την απόδειξη της συνέπειας των θεμελιακών θεωριών. Η εργασία πάνω στη θεωρία συνόλων έδειξε ότι σχεδόν όλα τα συνηθισμένα μαθηματικά μπορούν να διατυπωθούν με βάση τα σύνολα, αν και υπάρχουν κάποια θεωρήματα που δεν μπορούν να αποδειχθούν στα συνήθη αξιωματικά συστήματα για τη θεωρία συνόλων. Η σύγχρονη μελέτη στα θεμέλια των μαθηματικών συχνά εστιάζει στο να θεσπίσει ποια κομμάτια των μαθηματικών μπορούν να διατυπωθούν σε συγκεκριμένα τυπικά συστήματα, και όχι στο να αναπτύξει θεωρίες από όπου αναπτύσσονται όλα τα μαθηματικά.