Unita matrico
kompleksa kvadrata matrico, kies inverso estas ĝia konjugita transponaĵo / From Wikipedia, the free encyclopedia
En matematiko, unita matrico estas n×n kompleksa matrico U kontentiganta kondiĉon
- U*U = UU* = In
kie In estas la n×n identa matrico kaj U* estas la konjugita transpono (ankaŭ nomata kiel la hermita adjunkta) de U.
Ĉi tiu kondiĉo, laŭ difino de inversa matrico, implicas ke matrico U estas unita se kaj nur se ĝi havas inverson kiu estas egala al ĝia konjugita transpono
- U−1 = U*
Unita matrico en kiu ĉiuj elementoj estas reelaj estas orta matrico. Simile al tio kiel orta matrico Q konservas la reelan enan produton de du reelaj vektoroj
- <Qx, Qy> = <x, y>
tiel ankaŭ unita matrico U kontentigas
- <Ux, Uy> = <x, y>
por ĉiuj kompleksaj vektoroj x kaj y, kie <·, ·> estas la norma ena produto sur Cn.
Se U estas n×n matrico tiam jeno estas ĉiuj ekvivalentaj kondiĉoj:
- U estas unita
- U* estas unita
- La kolumnoj de U formas ortonormalan bazo de Cn kun respekto al ĉi tiu ena produto
- La linioj de U formas ortonormalan bazon de Cn kun respekto al ĉi tiu ena produto
- U estas izometrio kun respekto al la normo de ĉi tiu ena produto, kio estas ke multipliko je U konservas longon de ĉiu vektoro x: ||Ux||2=||x||2.
- U estas normala matrico (kio estas ke U*U = UU*) kun ĉiu el la ejgenoj estas de modulo 1 (|λi|=1 por i=1...n, kio estas ke ĉiuj ejgeno kuŝas sur unuobla cirklo en kompleksa ebeno).