Algebra variaĵo

En algebra geometrio, algebra variaĵo^[1], aŭ simple variaĵo, estas skemo, kiu estas loke izomorfa al la nulejo de prima idealo de polinomoj.

Difino

Supozu ke ${\displaystyle K}$ estas komuta algebre fermita korpo. Afina algebra variaĵo estas afina skemo de la formo

${\displaystyle \operatorname {Spek} {\frac {K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}{\mathfrak {p}}}}$,

en kiu

• ${\displaystyle K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$ estas la ringo de polinomoj je ${\displaystyle n}$ variabloj kun koeficientoj en ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$ estas prima idealo en la polinoma ringo.

Do, ĝi estas nature subskemo de la ${\displaystyle n}$-dimensia afina spaco

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{n}=\operatorname {Spek} K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$

difinita de la polinomoj generantaj la idealon ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. La postulo ke la idealo estu prima respondas al la jenaj du kondiĉoj:

• la prima idealo egalas ĝian propran radikalon; tio respondas al la fakto ke la afina algebra variaĵo estas reduktita — ekzemple, ${\displaystyle K[x]/(x^{2})}$ ne estas reduktita, ĉar ĝi inkluzivas la “infiniteziman ĉirkaŭaĵon” de la punkto ${\displaystyle x=0}$.
• krome, la primeco ankaŭ implicas, ke la algebra variaĵo estas nemalkomponebla: ĝi ne estas la kunaĵo de du nemalplenaj subvariaĵoj.

Algebra variaĵo estas skemo, kiu estas loke izomorfa al afina algebra variaĵo. Alivorte, ĝi estas reduktita, nemalkomponebla skemo de finia tipo super la algebre fermita korpo ${\displaystyle \operatorname {Spek} K}$.