Kunaĵo

La kunaĵo^[1][2] aŭ kunigaĵo^[3] de du aroj A kaj B estas la aro, kiu entenas precize tiujn elementojn, kiuj apartenas aŭ al A aŭ al B. La notacio por kunaĵo de A kaj B estas A ∪ B (legu a kun bo aŭ a aŭ bo):

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}}$

Ĉi tiu artikolo temas pri operacio sur aroj nomata "kunaĵo" aŭ "unio". Koncerne aliajn signifojn aliru la apartigilon Unio.

Pli ĝenerala nocio estas kunaĵo de arbitra familio de aroj:

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=\{a:\exists i\in I(a\in A_{i})\}}$

Formala difino

Por familio de aroj ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$, la kunaĵo aŭ kunigaĵo ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in I}X_{i}}$ estas la jena aro:

${\displaystyle \forall x\colon x\in \bigcup _{i\in I}X_{i}\iff \exists i\in I\colon x\in X_{i}}$.

Se familio de aroj konsistas el nur du aroj ${\displaystyle X}$ kaj ${\displaystyle Y}$ (elementoj de la familio), tiam la kunaĵo (aŭ kunigaĵo) ${\displaystyle X\cup Y}$ estas la aro, tia ke elemento ${\displaystyle x}$ apartenas al ${\displaystyle X\cup Y}$ se kaj nur se

• x apartenas al ${\displaystyle X}$ aŭ
• x apartenas al ${\displaystyle Y}$.

La konjunkcio "aŭ" tie ĉi estas ne-ekskluziva; elementoj, kiuj estas en ambaŭ aroj, estas en la kunaĵo.

Speciale, se la indica aro ${\displaystyle I}$ estas malplena aro, tiam ankaŭ la kun(ig)aĵo de nul aroj estas malplena aro:

${\displaystyle \bigcup \varnothing =\varnothing }$.

Ecoj

La kunigo de aroj estas komuta (kio ne tuj evidentas el la prepozicio "kun") kaj asocia.

Ekzemplo

Ekzemple la kunaĵo el la aroj {1,2,3} kaj {2,3,4} estas {1,2,3,4}. La nombro 9 ne apartenas al la kunaĵo de la aro de primoj {2,3,5,7,11,...} kaj la aro de paraj nombroj {2,4,6,8,...}, ĉar 9 estas nek primo nek para nombro.