Dudekedra simetrio

La regula dudekedro havas turnan simetrion de ordo 60 (kiu inkluzivas turnajn transformojn sed ne inkluzivas reflektajn transformojn), kaj entutan simetrion de ordo 120 (kiu inkluzivas kaj reflektajn kaj turnajn transformojn). La regula dekduedro havas la samajn simetriojn pro tio ke ĝi estas la duala pluredro de dudekedro.

Pilko kun plena dudekedra simetrio

La aro de orientiĝo-konservantaj simetrioj formas grupon A₅ (la alterna grupo sur 5 eroj), kaj la plena geometria simetria grupo (inkluzivanta reflektojn) estas la produto A₅ × C₂ de A₅ kun cikla grupo de ordo 2.

Detaloj

La dudekedra turna grupo I kun fundamenta domajno

La dudekedra grupo I_h kun fundamenta domajno

Krom la du malfiniaj serioj de prismaj kaj kontraŭprismaj simetrioj, turna dudekedra simetrio de nememspegulsimetriaj objektoj kaj plena dudekedra simetrio de memspegulsimetriaj objektoj estas la diskretaj punktaj simetrioj (aŭ ekvivalente, simetrioj sur la sfero) kun la plej grandaj ordoj.

Dudekedra simetrio ne estas kongrua kun mova simetrio, do tiel ne estas asociita kun iu kristala punkto grupo aŭ spaca grupo. La dudekedra turnada grupo I estas de ordon 60. La grupo I estas izomorfia al A₅, la alterna grupo de paraj permutoj de kvin objektoj. (La kvin objektoj estas permutataj per I en okazo de la kvin enskribitaj kuboj en dekduedro.) La grupo enhavas 5 versiojn de T_h kun 20 versioj de D₃ (10 aksoj, 2 por akso), kaj 6 versiojn de D₅.

La plena dudekedra grupo I_h havas ordon 120. Ĝi havas grupon I kiel normala subgrupo de indekso 2. La grupo I_h estas izomorfia al I × C₂, aŭ A₅ × C₂, kun la inversigo en la centro respektiva al ero (idento,-1), kie C₂ estas skribita multiplike. La grupo enhavas 10 versiojn de D_3d kaj 6 versiojn de D_5d (simetrioj similaj al tiuj de kontraŭprismoj).

Kristala skribmaniero de Arthur Moritz Schönflies	Skribmaniero de H. S. M. Coxeter	Skribmaniero de Conway	Ordo
I	[3,5]+	532	60
Ih	[3,5]	*532	120

Prezentoj de la grupoj:

I: ${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle }$

I_h: ${\displaystyle \langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle }$

Notu, ke ekzistas ankaŭ la aliaj prezentoj.

En la piramidigita tridekedro unu plena edro estas fundamenta domajno. La aliaj pluredroj kun la sama simetrio povas esti ricevita per ĝustigo de orientiĝo de la edroj, do per kunigo de elektitaj subaroj de edroj por komponi ĉiun tutan subaron en unu edron, aŭ per anstataŭigo de ĉiu edro per multaj edroj aŭ surfaco.

Konjugecaj klasoj

La konjugecaj klasoj de Mi estas:

• idento
• 12 × turno je 72°
• 12 × turno je 144°
• 20 × turno je 120°
• 15 × turno je 180°

Tiuj de I_h inkluzivas ankaŭ tiujn kun inversigo:

• inversigo
• 12 × turnoreflekto je 108°
• 12 × turnoreflekto je 36°
• 20 × turnoreflekto je 60°
• 15 × reflekto

Subgrupoj

I enhavas 5 kopiojn de turna kvaredra simetrio T.

I_h enhavas 5 kopiojn de plena kvaredra simetrio T_h.

Iuj nememspegulsimetriaj pluredroj kun turna dudekedra simetrio

Nomo	Speco	Bildo		Edroj	Lateroj	Verticoj
		Mallaŭ horloĝa nadlo	Laŭ horloĝa nadlo
Riproĉa dekduedro	Arĥimeda solido			92	150	60
Kvinlatera sesdekedro	Katalana solido			60	150	92

Iuj pluredroj kun plena dudekedra simetrio

Nomo	Speco	Bildo	Edroj	Lateroj	Verticoj
Dekduedro	Platona solido		12	30	20
Dudekedro	Platona solido		20	30	12
Malgranda steligita dekduedro	Pluredro de Keplero-Poinsot		12	30	12
Granda dekduedro	Pluredro de Keplero-Poinsot		12	30	12
Granda steligita dekduedro	Pluredro de Keplero-Poinsot		12	30	20
Granda dudekedro	Pluredro de Keplero-Poinsot		20	30	12
Dudek-dekduedro	Arĥimeda solido, kvazaŭregula pluredro		32	60	30
Senpintigita dekduedro	Arĥimeda solido		32	90	60
Senpintigita dudekedro	Arĥimeda solido		32	90	60
Malgranda rombo-dudek-dekduedro	Arĥimeda solido		62	120	60
Granda rombo-dudek-dekduedro (senpintigita dudek-dekduedro)	Arĥimeda solido		62	180	120
Romba tridekedro	Katalana solido, duala de kvazaŭregula pluredro		30	60	32
Trilateropiramidigita dudekedro	Katalana solido		60	90	32
Kvinlateropiramidigita dekduedro	Katalana solido		60	90	32
Deltosimila sesdekedro	Katalana solido		60	120	62
Piramidigita tridekedro (seslateropiramidigita dudekedro)	Katalana solido		120	180	62

Vidu ankaŭ

• Duedra simetrio en tri dimensioj
• Kvaredra simetrio
• Okedra simetrio
• Triangulo de Schwarz

• Kategorio Dudekedra simetrio en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)