Ĉirkaŭaĵo

En topologio, ĉirkaŭaĵo^[1] de iu punkto estas subaro, kiu “interne” enhavas la punkton, en la senco ke la punkto estas entenata de malfermita subaro ene de la ĉirkaŭaĵo.

Difino

Se ${\displaystyle X}$ estas topologia spaco, kaj ${\displaystyle x\in X}$ estas punkto en ĝi, do malfermita ĉirkaŭaĵo de ${\displaystyle x}$ estas malfermita aro ${\displaystyle U\subseteq X}$ kiu entenas ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle x\in U\subseteq X}$.

Ĉirkaŭaĵo de ${\displaystyle x}$ estas subaro ${\displaystyle C}$ de ${\displaystyle X}$, kiu entenas almenaŭ unu malfermitan ĉirkaŭaĵon ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \exists U\colon x\in U\subseteq C\subseteq X}$.

Pli ĝenerale, se ${\displaystyle X}$ estas topologia spaco, kaj ${\displaystyle S\subseteq X}$ estas subaro en ĝi, do malfermita ĉirkaŭaĵo de ${\displaystyle S}$ estas malfermita aro ${\displaystyle U\subseteq X}$ kiu entenas ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle S\subseteq U\subseteq X}$.

Ĉirkaŭaĵo de ${\displaystyle S}$ estas subaro ${\displaystyle C}$ de ${\displaystyle X}$, kiu entenas almenaŭ unu malfermitan ĉirkaŭaĵon ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle \exists U\colon S\subseteq U\subseteq C\subseteq X}$.

Propraĵoj

Pri iu ajn punkto, ĉiu malfermita ĉirkaŭaĵo estas ĉirkaŭaĵo, sed ĉirkaŭaĵo, kiu ne estas malfermita, povas ekzisti.