Geometría compleja
estudio de variedades y de estructuras multivariable complejas / De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
En matemáticas, la geometría compleja es el estudio de las estructuras y construcciones geométricas que surgen de los números complejos o están descritas por ellos. En particular, se ocupa del estudio de espacios tales como variedades complejas y variedades algebraicas complejas, funciones de múltiples variables complejas y construcciones holomorfas como haces de vectores holomorfos y paquetes coherentes. La aplicación de métodos trascendentes a la geometría algebraica cae en esta categoría, junto con aspectos más geométricos del análisis complejo.
La geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría algebraica, la geometría diferencial y el análisis complejo, y utiliza herramientas de las tres áreas. Debido a la combinación de técnicas e ideas de diversas áreas, los problemas de geometría compleja suelen ser más manejables o concretos que otros tipos de cuestiones en general. Por ejemplo, la clasificación de variedades complejas y variedades algebraicas complejas a través de un programa de modelo mínimo y la construcción de espacio de módulos distingue el campo de la geometría diferencial, donde la clasificación de posibles variedad diferenciables es un problema significativamente más difícil. Además, la estructura adicional de geometría compleja permite, especialmente en su configuración compacta, que los resultados de análisis global se prueben con gran éxito, incluida la prueba de Shing-Tung Yau de la conjetura de Calabi, la correspondencia de Hitchin-Kobayashi), la correspondencia no abeliana de Hodge y resultados de existencia para métricas de Kähler-Einstein y para la métrica de Kähler de curvatura escalar constante. Estos resultados a menudo retroalimentan la geometría algebraica compleja y, por ejemplo, recientemente la clasificación de variedades de Fano usando la K-estabilidad se ha beneficiado enormemente tanto de las técnicas de análisis como de la geometría birracional pura.
La geometría compleja tiene aplicaciones importantes en la física teórica, donde es esencial para comprender la teoría conforme de campos; y la teoría de cuerdas y su simetría especular. A menudo es una fuente de ejemplos en otras áreas de las matemáticas, incluso en la teoría de representación, donde las variedades de banderas generalizadas puede estudiarse utilizando geometría compleja que conduce al teorema de Borel-Weil-Bott, o en topología simpléctica, donde las variedades de Kähler son simplécticas, en Geometría de Riemann donde las variedades complejas proporcionan ejemplos de estructuras métricas exóticas como la variedad de Calabi-Yau y la hipervariedad de Kähler, y en teoría de calibres, donde los haces de vectores holomorfos a menudo permiten obtener soluciones para ecuaciones diferenciales importantes que surgen de la física, como las ecuaciones de Yang-Mills. La geometría compleja también tiene un impacto en la geometría algebraica pura, donde los resultados analíticos en entornos complejos, como la teoría de Hodge de variedades de Kähler inspiran la comprensión de la estructura de Hodge para variedades y esquemas, así como la teoría p-ádica de Hodge, una teoría de la deformación para variedades complejas inspira la comprensión de la teoría de deformación de los esquemas, y los resultados sobre la cohomología de variedades complejas inspiraron la formulación de las conjeturas de Weil y las conjeturas estándar de Alexander Grothendieck. Por otro lado, los resultados y técnicas de muchos de estos campos a menudo retroalimentan la geometría compleja y, por ejemplo, los avances en las matemáticas de la teoría de cuerdas y la simetría especular han revelado mucho sobre la naturaleza de las variedades de Calabi-Yau, que los teóricos de cuerdas predicen que debería tener la estructura de fibraciones lagrangianas a través de la conjetura SYZ, y el desarrollo de la teoría de Gromov–Witten de variedades simplécticas ha llevado a avances en geometría enumerativa de variedades complejas.
La conjetura de Hodge, uno de los problemas del milenio, es una cuestión de geometría compleja.[1]