Sistema pi
familia de conjuntos cerrados bajo la intersección / De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
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En matemáticas, un sistema Π (o sistema pi) en un conjunto es una colección de ciertos subconjuntos de de modo que:
- es no vacío.
- Si , entonces
Es decir, es una familia no vacía de subconjuntos de que está cerrada bajo un número finito de intersectiones no vacías.[nb 1] La importancia de los sistemas Π surge del hecho de que si dos medidas de probabilidad coinciden en un sistema Π, entonces coinciden en la Σ-álgebra generada por ese sistema Π. Además, si otras propiedades, como la igualdad de integrales, se cumplen para el sistema Π, entonces también se cumplen para el álgebra Σ generada. Este es el caso siempre que la colección de subconjuntos para los cuales se mantiene la propiedad es un sistema λ. Los sistemas Π también son útiles para comprobar la independencia de variables aleatorias.
Esto es deseable porque, en la práctica, los sistemas Π suelen ser más sencillos de trabajar que las álgebras Σ. Por ejemplo, puede resultar incómodo trabajar con álgebras Σ generadas por un número finito de conjuntos Por lo tanto, se puede examinar la unión de todas las álgebras Σ generadas por un número finito de conjuntos Esto forma un sistema Π que genera el álgebra Σ deseada. Otro ejemplo es la colección de todos los intervalos de la recta real, junto con el conjunto vacío, que es un sistema Π que genera el muy importante álgebra Σ de Borel de subconjuntos de la recta real.