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En matemáticas, y en particular en el análisis complejo, el teorema de Liouville, llamado así en honor al matemático Joseph Liouville, afirma que si una función es holomorfa en todo el plano complejo y está acotada, entonces es constante. Nótese que esta afirmación es falsa en los números reales (tómese, por ejemplo, la función , que es derivable en toda la recta real y está acotada, pero no es constante).
Sea una función entera[1] y acotada, es decir, existe tal que
entonces resulta que es constante.
Una versión más general de este teorema afirma que si es una función entera y si se tiene que , con para algún , entonces debe ser un polinomio de grado a lo más . Como consecuencia directa de lo anterior, si , con , un polinomio de grado , entonces es un polinomio de grado a lo más .
La fórmula integral de Cauchy dice que
De modo que
Como podemos elegir tan grande como queramos, concluimos que para todo en . Finalmente, como está definida sobre un conjunto simplemente conexo, entonces f debe ser constante.
El teorema de Liouville entrega una demostración simple del teorema fundamental del álgebra, es decir, de que todo polinomio no constante a coeficientes en tiene una raíz en . La demostración es la siguiente:
Así , de donde se desprende .
Luego es acotada para , pero como es continua, también es acotada en el disco . Aplicando el teorema de Liouville, la función es constante, por lo que también lo será. Eso contradice nuestra hipótesis inicial, y se concluye que entonces debe tener una raíz.[2]
Nótese que se sigue fácilmente que entonces tiene tantas raíces como su grado (contando multiplicidad), pues basta dividir cada vez por , donde es la raíz recién encontrada.
Una de las consecuencias interesantes del teorema de Liouville es que el espectro de un operador necesariamente es un conjunto no vacío. Para verlo, veamos que el hecho de que fuera vacío contradice el teorema de Liouville. Si dicho espectro fuera vacío entonces la norma de la función resolvente:
Donde es un operador acotado de un espacio de Banach, estaría definida en todo el plano complejo y sería holomorfa y acotada. Y eso implica que la función sería constante por el teorema de Liouville. Y dado que:
Por ser constante, tendría que ser 0 en todos sitios y eso contradiría el hecho de que el resolvente sea un operador lineal acotado.
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